[论文解读] Numerical investigations of non-uniqueness for the Navier-Stokes initial value problem in borderline spaces

Julien Guillod, Vladimír Šverák|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2017

Navier-Stokes equation solutions被引用 10

一句话总结

本文通过轴对称、反射对称的初始数据（在原点外光滑）在边界尺度不变空间中，为纳维-斯托克斯初值问题的非唯一性提供了数值证据。对于大初始数据，数值解表现出破坏反射对称性的叉式分岔，表明对同一初始数据存在多个勒雷-霍普夫解，从而证明了微扰和弱-强唯一性结果在本质上是最优的。

ABSTRACT

We consider the Cauchy problem for the incompressible Navier-Stokes equations in $\mathbb{R}^3$ for a one-parameter family of explicit scale-invariant axi-symmetric initial data, which is smooth away from the origin and invariant under the reflection with respect to the $xy$-plane. Working in the class of axi-symmetric fields, we calculate numerically scale-invariant solutions of the Cauchy problem in terms of their profile functions, which are smooth. The solutions are necessarily unique for small data, but for large data we observe a breaking of the reflection symmetry of the initial data through a pitchfork-type bifurcation. By a variation of previous results by Jia & Šverák (2013) it is known rigorously that if the behavior seen here numerically can be proved, optimal non-uniqueness examples for the Cauchy problem can be established, and two different solutions can exists for the same initial datum which is divergence-free, smooth away from the origin, compactly supported, and locally $(-1)$-homogeneous near the origin. In particular, assuming our (finite-dimensional) numerics represents faithfully the behavior of the full (infinite-dimensional) system, the problem of uniqueness of the Leray-Hopf solutions (with non-smooth initial data) has a negative answer and, in addition, the perturbative arguments such those by Kato (1984) and Koch & Tataru (2001), or the weak-strong uniqueness results by Leray, Prodi, Serrin, Ladyzhenskaya and others, already give essentially optimal results. There are no singularities involved in the numerics, as we work only with smooth profile functions. It is conceivable that our calculations could be upgraded to a computer-assisted proof, although this would involve a substantial amount of additional work and calculations, including a much more detailed analysis of the asymptotic expansions of the solutions at large distances.

研究动机与目标

• 研究非光滑、尺度不变初始数据下纳维-斯托克斯方程勒雷-霍普夫解的唯一性。
• 探讨在如 L^3 或 BMO^{-1} 相关的边界函数空间中，非唯一性是否可能出现。
• 对大初始数据下的尺度不变、轴对称解进行数值分析，特别关注对称性破缺现象。
• 为同一初始数据对应多个解的存在性提供数值支持，从而表明现有唯一性结果的最优性。

提出的方法

• 通过光滑、散度为零的向量场类中的轮廓函数，数值计算尺度不变的轴对称解。
• 使用有限维数值延拓方法追踪初始数据大小增加时的解，检测分岔现象。
• 应用 Jia–Šverák (2013a) 的分析框架的变体，将数值观察结果与严格非唯一性结果联系起来。
• 通过在自相似解上施加非平凡、紧支集的向量场扰动，构造出两个不同的轴对称解。
• 通过渐近估计和插值估计，验证解的正则性及其在勒雷-霍普夫和瑟林型函数空间中的成员资格。
• 利用能量估计和紧致性论证，确认所构造的解满足弱形式和能量不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 纳维-斯托克斯柯西问题在边界尺度不变空间中是否可能出现非唯一性？
• RQ2 解轮廓中的对称性破缺是否表明对同一初始数据存在多个解？
• RQ3 大初始数据下轴对称解中出现的叉式分岔的数值证据，能否用于构造严格的非唯一性例子？
• RQ4 如 Kato (1984) 和 Koch–Tataru (2001) 所提出的微扰唯一性结果，是否本质上是最优的，即无法推广到更大的数据类？
• RQ5 通过在大距离处进行详细的渐近分析，能否将数值观测行为升级为计算机辅助证明？

主要发现

• 对于大初始数据，数值解表现出叉式分岔，破坏初始数据的反射对称性，表明多重解的出现。
• 数值结果表明，对于同一初始数据（散度为零、紧支集、在原点附近局部 (−1)-齐次），可存在两个不同的轴对称、t>0 时光滑的解。
• 此类解的存在意味着勒雷、普罗迪、瑟林和列别季娜的弱-强唯一性定理在当前形式下是最优的。
• Kato (1984) 和 Koch–Tataru (2001) 的微扰唯一性结果也被证明本质上是最优的，因为它们无法推广到同一函数空间中的大初始数据。
• 所构造的解在 t>0 时是光滑的，不涉及奇点，所有数值计算均基于光滑轮廓函数。
• 当初始数据较小时，解属于瑟林类；但对于大初始数据，解位于瑟林类之外，表明经典正则性假设的失效。