[论文解读] Numerical investigations of traveling singular sources problems via moving mesh method

Zhicheng Hu, Keiwei Liang|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2012

Fluid Dynamics and Vibration Analysis参考文献 22被引用 3

一句话总结

本文提出一种结合域分解的移动网格方法，用于求解具有多个以不同速度移动的行进奇性源的一维PDE。通过将区域划分为每个源周围的子区域，并独立求解各子区域的局部网格方程，该方法避免了计算解导数的跳跃，实现了二阶空间收敛性，并支持高效的并行计算。该方法成功捕捉了不同速度源的爆破现象，这是此前尚未在数值上研究过的案例。

ABSTRACT

This paper studies the numerical solution of traveling singular sources problems. In such problems, a big challenge is the sources move with different speeds, which are described by some ordinary differential equations. A predictor-corrector algorithm is presented to simulate the position of singular sources. Then a moving mesh method in conjunction with domain decomposition is derived for the underlying PDE. According to the positions of the sources, the whole domain is splitted into several subdomains, where moving mesh equations are solved respectively. On the resulting mesh, the computation of jump $[\dot{u}]$ is avoided and the discretization of the underlying PDE is reduced into only two cases. In addition, the new method has a desired second-order of the spatial convergence. Numerical examples are presented to illustrate the convergence rates and the efficiency of the method. Blow-up phenomenon is also investigated for various motions of the sources.

研究动机与目标

• 为解决具有随时间变化的奇性源、以不同速度移动的一维PDE的数值挑战。
• 克服标准有限差分/有限元方法在穿越移动源位置时因解导数跳跃而失效的问题。
• 开发一种鲁棒的、具有二阶收敛性的数值格式，避免显式计算源位置处的跳跃项[u_x]。
• 通过域分解和子区域上的局部网格等分布，实现高效的并行计算。
• 研究在不同源运动模式（包括非均匀和周期性速度）下解的爆破行为。

提出的方法

• 采用预测-校正算法追踪由常微分方程 dα_i/dt = ψ_i(t, α_i(t), u) 控制的q个奇性源的时间依赖位置α_i(t)。
• 计算区域被划分为q+1个子区域，由q个源分隔，每个子区域上独立求解局部移动网格方程。
• 基于等分布原则，通过MMPDEs（如MMPDE4/5/6）生成移动网格，使网格点在源附近集中。
• 在所得自适应网格上，使用有限差分格式对物理PDE进行离散化，由于域分解，仅需两种不同的紧致格式。
• 通过独立处理每个子区域，避免了对[u_x]跳跃项的直接计算，简化了离散化过程。
• 采用特殊的时间推进实现确保整体格式具有二阶空间收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 结合域分解的移动网格方法能否有效处理具有多个以不同非均匀速度移动的奇性源的PDE？
• RQ2 在数值离散化中，如何避免在移动源处解导数[u_x]的跳跃？
• RQ3 所提方法在空间上的收敛率是多少？能否保持二阶精度？
• RQ4 当源以不同速度移动时，该方法能否准确捕捉爆破现象？
• RQ5 该方法能否推广至多个源（q > 2）且具有不同运动模式的情形？

主要发现

• 在特定时间推进策略下，数值实验验证了所提方法实现了二阶空间收敛性。
• 对于以速度k=2移动的单个源，爆破发生在t ≈ 2.0397，位置x ≈ 4.0794，此时u_max ≈ 3.16×10^6。
• 对于两个以相同速度k=2移动的源，爆破发生在第二个源处，t ≈ 1.6896，此时u_max ≈ 3.16×10^6。
• 在对称周期性运动情形下，A=π，爆破同时发生在两个源处，t ≈ 2.4969，此时u_max ≈ 3.16×10^6。
• 该方法成功模拟了不同速度源的爆破现象，这是此前尚未在数值上研究过的案例。
• 使用局部吸收边界条件可在不降低解精度的前提下减小观测区域，数值结果已证明此效果。