[论文解读] Numerical irreducible decomposition of multiprojective varieties

Jonathan D. Hauenstein, Jose Israel Rodriguez|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2015

Polynomial and algebraic computation参考文献 28被引用 16

一句话总结

本文引入了多重射影见证集以编码不可约多重射影概形的多重次数信息，将数值不可约分解、再生求解和迹测试推广至多重射影设置。该方法实现了在多重射影空间中对带有多重次数数据的不可约分支进行数值计算。

ABSTRACT

In the field of numerical algebraic geometry, positive-dimensional solution sets of systems of polynomial equations are described by witness sets. In this paper, we define multiprojective witness sets which will encode the multidegree information of an irreducible multiprojective variety. Furthermore, we generalize the regeneration solving procedure, a trace test, and numerical irreducible decomposition to the multiprojective case. Examples are included to demonstrate this new approach.

研究动机与目标

• 将数值代数几何方法扩展至多重射影概形，这些概形未被经典射影技术覆盖。
• 开发一个保持多重射影空间中不可约分支多重次数信息的数值框架。
• 将关键数值算法——再生求解和迹测试——推广至多重射影设置。
• 为多重射影系统中正维数解集的不可约分解提供计算工具。

提出的方法

• 将多重射影见证集定义为编码多重次数数据的不可约分支的数值表示。
• 将再生求解过程改编为在多重射影空间中使用线性同伦构造见证集。
• 将迹测试推广至多重射影上下文，以验证计算所得见证集的正确性。
• 通过在每个射影因子中追踪次数，将多重次数计算整合到见证集框架中。
• 使用数值延拓方法计算解，并通过迹测试在多重射影设置中验证不可约性。
• 构建一个输出带有多重次数信息的多重射影见证集的数值不可约分解算法。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在数值上编码多重射影概形中不可约分支的多重次数信息？
• RQ2 在多重射影代数集上应用再生求解需要哪些修改？
• RQ3 迹测试能否推广至验证多重射影情形下的见证集？
• RQ4 如何在保持多重次数数据的前提下将数值不可约分解扩展至多重射影概形？
• RQ5 所提出的框架在基准多重射影系统上的计算行为如何？

主要发现

• 多重射影见证集成功编码了多重射影概形中不可约分支的多重次数信息。
• 再生过程已推广至多重射影设置，实现了见证集的高效构造。
• 迹测试已扩展至验证多重射影空间中的见证集，确保计算分支的正确性。
• 数值不可约分解已推广至多重射影概形，全程保持多重次数数据。
• 该框架允许使用数值方法计算带有完整多重次数信息的不可约分支。
• 实例表明该方法在非平凡多重射影系统上具有可行性和正确性。