[论文解读] Numerical Method for FBSDEs of McKean-Vlasov Type

Jean-François Chassagneux, Dan Crisan+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文提出了一种求解麦科恩-弗拉斯托夫型前向-后向随机微分方程（FBSDEs）的新型数值格式，该类方程源于平均场控制与平均场博弈问题。该方法在小时间区间上采用递归局部皮卡迭代，仅在解耦场具有较弱正则性条件下即保证收敛性，误差界通过随机泰勒展开与鞅估计推导得出。

ABSTRACT

This paper is dedicated to the presentation and the analysis of a numerical scheme for forward-backward SDEs of the McKean-Vlasov type, or equivalently for solutions to PDEs on the Wasserstein space. Because of the mean field structure of the equation, earlier methods for classical forward-backward systems fail. The scheme is based on a variation of the method of continuation. The principle is to implement recursively local Picard iterations on small time intervals. We establish a bound for the rate of convergence under the assumption that the decoupling field of the forward-bakward SDE (or equivalently the solution of the PDE) satisfies mild regularity conditions. We also provide numerical illustrations.

研究动机与目标

• 开发一种针对具有平均场（麦科恩-弗拉斯托夫）结构的前向-后向SDE的鲁棒数值格式，其中经典方法因解的非马尔可夫性与对解分布的非局部依赖而失效。
• 通过解耦场将平均场博弈与控制中出现的非局部PDE（在Wasserstein空间上）与FBSDE联系起来，以应对求解此类PDE的挑战。
• 在解耦场与系数具有较弱正则性假设下，建立所提格式的收敛速率。
• 提供一种概率性数值方法，避免在无限维测度空间上使用传统PDE求解器的复杂性。

提出的方法

• 该格式采用连续法的变体，通过在小时间区间上递归应用局部皮卡迭代，以稳定耦合FBSDE系统的求解。
• 前向分量采用带时间分区的欧拉型格式进行离散化，而后向分量则通过条件期望迭代逼近。
• 利用随机泰勒展开分析误差，关键项涉及解耦场的二阶导数以及测度变量中的Wasserstein导数。
• 通过引入鞅增量控制后向分量的误差，利用Bürkholder-Davis-Gundy不等式与矩估计推导出误差界。
• 该方法利用麦科恩-弗拉斯托夫型FBSDE与主方程（在Wasserstein空间上的非局部PDE）之间的联系，以解耦场作为解的代理。
• 构建并分析了该格式的连续时间版本，通过离散Gronwall型不等式与解分量的矩界控制误差。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种针对麦科恩-弗拉斯托夫型FBSDE的数值格式，以克服因平均场依赖与测度变量中非局部性导致的经典方法失效问题？
• RQ2 在解耦场与系数具有较弱正则性假设下，此类格式的收敛速率如何？
• RQ3 如何在不采用Wasserstein空间上全PDE离散化的情况下，数值处理方程的非马尔可夫性与测度相关结构？
• RQ4 在小时间区间上递归应用局部皮卡迭代，能否对整个时间区间产生稳定且收敛的逼近？
• RQ5 该格式的精确矩界与误差界是什么，特别是关于时间步长与解正则性的关系？

主要发现

• 所提格式在解耦场具有较弱正则性条件下实现收敛，收敛速率受制于最大时间步长平方根的常数倍。
• 后向分量的误差通过鞅增量分解控制，误差项的期望平方范数被界为$ Ch_i^{1/2} $，确保了稳定性。
• 前向分量的解范数受依赖于初始数据、时间步长与解耦场近似误差的常数界约束。
• 通过将离散Gronwall不等式应用于解分量的矩估计，建立了该格式的收敛性。
• 数值示例验证了理论收敛速率，并展示了该方法在实际应用中的鲁棒性。
• 该方法通过将依赖于测度的系数嵌入迭代皮卡格式中，成功处理了主方程中的非局部项与测度导数项。