[论文解读] Numerical methods for phase retrieval

Eliyahu Osherovich|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2012

Advanced X-ray Imaging Techniques参考文献 52被引用 14

一句话总结

本文提出了一种基于优化的新型相位恢复方法，利用稀疏性约束和近似傅里叶相位知识，在单次强度测量下实现相干衍射成像（CDI）中的亚波长分辨率。通过利用已知基（如小波或梯度域）中信号稀疏性的先验知识，该方法在超越传统衍射极限的前提下重建出高分辨率图像，显著优于传统的Fienup HIO和Gerchberg-Saxton算法。

ABSTRACT

In this work we consider the problem of reconstruction of a signal from the magnitude of its Fourier transform, also known as phase retrieval. The problem arises in many areas of astronomy, crystallography, optics, and coherent diffraction imaging (CDI). Our main goal is to develop an efficient reconstruction method based on continuous optimization techniques. Unlike current reconstruction methods, which are based on alternating projections, our approach leads to a much faster and more robust method. However, all previous attempts to employ continuous optimization methods, such as Newton-type algorithms, to the phase retrieval problem failed. In this work we provide an explanation for this failure, and based on this explanation we devise a sufficient condition that allows development of new reconstruction methods---approximately known Fourier phase. We demonstrate that a rough (up to $π/2$ radians) Fourier phase estimate practically guarantees successful reconstruction by any reasonable method. We also present a new reconstruction method whose reconstruction time is orders of magnitude faster than that of the current method-of-choice in phase retrieval---Hybrid Input-Output (HIO). Moreover, our method is capable of successful reconstruction even in the situations where HIO is known to fail. We also extended our method to other applications: Fourier domain holography, and interferometry. Additionally we developed a new sparsity-based method for sub-wavelength CDI. Using this method we demonstrated experimental resolution exceeding several times the physical limit imposed by the diffraction light properties (so called diffraction limit).

研究动机与目标

• 为解决相干衍射成像（CDI）中仅能获取强度测量值的根本性相位恢复挑战。
• 通过利用信号稀疏性的先验知识，实现在单次实验中实现亚波长分辨率成像。
• 开发一种通用算法，适用于光学、电子及其他显微系统，无需硬件修改。
• 证明在已知基中的稀疏性是实现超分辨率的关键，其作用超越非负性或有界支撑的约束。
• 提供一种实时、计算高效的重建框架，与现有成像硬件兼容。

提出的方法

• 将相位恢复问题建模为使用复值梯度和海塞矩阵的约束优化问题。
• 在目标函数中引入促进稀疏性的正则化项，采用l0类惩罚或替代范数。
• 采用迭代优化方案，交替执行傅里叶域的数据保真度和信号域的稀疏性强制。
• 将近似傅里叶相位知识作为先验，以稳定并加速收敛。
• 采用与信号无关的基函数选择策略，并结合自动网格确定方法以优化重建质量。
• 通过建模参考光束相位不确定性并迭代校正，将该方法应用于全息成像。

实验结果

研究问题

• RQ1 在已知基中利用稀疏性是否能够实现从单次强度测量中获得亚波长分辨率的相位恢复？
• RQ2 近似傅里叶相位知识在相位恢复中如何提升重建的稳定性和准确性？
• RQ3 基函数选择和网格分辨率对重建质量和收敛速度有何影响？
• RQ4 该方法在分辨率和鲁棒性方面是否能超越Fienup的混合输入输出（HIO）和Gerchberg-Saxton算法？
• RQ5 该方法在非光学成像系统（如原子力显微镜或磁力显微镜）中的通用性如何？

主要发现

• 该方法仅通过强度测量和稀疏性先验知识，即在CDI中实现亚波长分辨率，显著优于传统去卷积和相位恢复技术。
• 当稀疏性与近似相位知识结合时，重建质量显著提升；仅依赖稀疏性不足以实现高分辨率恢复。
• 该算法具有极高的重建速度，处理时间适合实时应用，如Lena和Phantom测试图像的速度对比所示。
• 目标函数值在不同网格间距下均稳定收敛，最佳性能出现在正确网格分辨率（如21像素）时，表明对参数调优具有鲁棒性。
• 实验结果表明，该方法在存在噪声和参考光束相位误差的情况下，仍能成功恢复合成和真实CDI数据中的亚波长特征。
• 在分辨率和鲁棒性方面，该方法优于Fienup的HIO和Gerchberg-Saxton算法，尤其在信噪比较低和紧支撑条件下表现更优。