[论文解读] Numerical methods for the deterministic second moment equation of parabolic stochastic PDEs

Kirchner, Kristin|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 15被引用 1

一句话总结

本文提出对带有仿射乘法Lévy噪声的抛物型随机PDE的二阶矩，通过在张量积空间上使用Petrov–Galerkin离散化，直接求解确定性变分方程。在比以往工作更宽松的条件下建立了二阶矩方程的适定性，并证明了时空一致格式的稳定性与拟最优收敛性，数值实验验证了时间方向的一阶收敛性。

ABSTRACT

Numerical methods for stochastic partial differential equations typically estimate moments of the solution from sampled paths. Instead, we shall directly target the deterministic equations satisfied by the first and second moments, as well as the covariance. In the first part, we focus on stochastic ordinary differential equations. For the canonical examples with additive noise (Ornstein-Uhlenbeck process) or multiplicative noise (geometric Brownian motion) we derive these deterministic equations in variational form and discuss their well-posedness in detail. Notably, the second moment equation in the multiplicative case is naturally posed on projective-injective tensor product spaces as trial-test spaces. We construct Petrov-Galerkin discretizations based on tensor product piecewise polynomials and analyze their stability and convergence in these natural norms. In the second part, we proceed with parabolic stochastic partial differential equations with affine multiplicative noise. We prove well-posedness of the deterministic variational problem for the second moment, improving an earlier result. We then propose conforming space-time Petrov-Galerkin discretizations, which we show to be stable and quasi-optimal. In both parts, the outcomes are illustrated by numerical examples.

研究动机与目标

• 推导并分析带有乘法噪声的随机ODE与PDE解的一阶与二阶矩的确定性变分方程。
• 通过在不假设噪声强度较小的条件下证明二阶矩方程的适定性，克服先前工作的局限性。
• 为乘法噪声情形下的二阶矩方程开发稳定且收敛的时空Petrov–Galerkin离散化方法。
• 通过在张量积空间上的半群理论，将结果从随机ODE推广至带有仿射乘法Lévy噪声的抛物型随机PDE。
• 通过数值实验验证所提方法，展示其收敛性与稳定性。

提出的方法

• 利用函数分析工具与张量积空间，为带有加法与乘法Wiener噪声的随机ODE的一阶与二阶矩推导变分形式。
• 通过分析迹积并使用投影-注入张量积空间作为试函数与测试函数空间，证明乘法情形下二阶矩方程的适定性。
• 在空间与时间上使用张量积分片多项式构造Petrov–Galerkin离散化，特别处理乘法情形下的迹积。
• 引入后处理与修正迹积形式（例如 iE⋆₂/Q），以在乘法情形下恢复稳定性和一致性。
• 通过在投影张量积空间上的C₀-半群理论，将框架推广至带有仿射乘法Lévy噪声的抛物型SPDE。
• 为时空一致格式建立拟最优性与稳定性，特别是针对CN∗₂时间离散化，避免后处理。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在不假设噪声强度较小的条件下，通过确定性变分格式求解带有乘法噪声的抛物型SPDE的二阶矩？
• RQ2 如何为乘法噪声情形下的二阶矩方程构造稳定且收敛的时空Petrov–Galerkin离散化？
• RQ3 张量积空间——特别是投影-注入张量积与希尔伯特张量积——在确保二阶矩方程的适定性与稳定性方面起到什么作用？
• RQ4 不同时间离散化格式（如 iE⋆, CN∗₂）在二阶矩问题中的稳定性与收敛性表现如何比较？
• RQ5 该数值框架能否从随机ODE推广至带有仿射乘法Lévy噪声的抛物型SPDE，同时保持稳定性和收敛性？

主要发现

• 在投影-注入张量积空间上，乘法噪声的二阶矩方程是适定的，其适定性在条件 CG = (108) < ∞ 下成立，该条件比以往工作所需的强度小假设更为宽松。
• 基于CN∗₂时间格式的Petrov–Galerkin离散化在无需后处理的情况下实现了稳定性和拟最优收敛性，而低阶格式则不然。
• 数值实验确认了在时间离散化参数k下，对角系数与总误差均呈现一阶收敛，与定理4.6一致。
• 在共轭梯度求解器中使用对称化与预条件化，可高效求解由张量积离散化产生的大规模离散系统。
• 通过在投影张量积空间上的C₀-半群理论，该框架可推广至向量值问题，从而实现对带有乘法Lévy噪声的SPDE的分析。
• 所提方法通过直接求解确定性矩方程，避免了蒙特卡洛采样，通过压缩时空格式具有降低计算成本与内存占用的潜力。