[论文解读] Numerical Modeling of Kondratyev's Long Waves Taking into Account Heredity

Dani I. Makarov, Roman Parovik|arXiv (Cornell University)|May 16, 2021

Material Science and Thermodynamics参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文提出了一种广义的分数阶Kondratyev长期波模型，通过Gerasimov-Caputo分数阶导数引入记忆（遗觉性）效应，并利用谐波函数对投资和创新进行建模。采用Adams-Bashforth-Moulton数值方法，模型展现出规则极限环行为与混沌动力学，表明记忆效应显著影响经济周期的复杂性与稳定性。

ABSTRACT

The paper proposes a new mathematical model of economic cycles and crises, which generalizes the well-known model of Dubovsky S.V. The novelty of the proposed model lies in taking into account the effect of heredity (memory), as well as the introduction of harmonic functions responsible for the arrival of investments in fixed assets and new management technologies in innovation. The mathematical description is given using the Gerasimov-Caputo fractional derivatives, which are studied within the framework of the theory of fractional calculus. The mathematical model was investigated using the numerical method of Adams-Bashforth-Moulton (ABM), phase trajectories were constructed. It is shown that the proposed mathematical model can have both regular and chaotic regimes.

研究动机与目标

• 通过分数阶微积分引入记忆效应，将Dubovsky的经典Kondratyev长期波模型进行扩展。
• 利用谐波函数对投资流入与创新驱动的管理技术进行建模。
• 开发并验证一种鲁棒的数值格式（ABM），用于求解广义分数阶模型，提升精度与稳定性。
• 研究在遗传效应下，经济动态中规则与混沌行为共存的机制。
• 为分析具有记忆依赖行为的长期经济周期，提供数学上严谨的框架。

提出的方法

• 采用阶数为α₁和α₂的Gerasimov-Caputo导数，构建描述经济变量中记忆效应的分数阶微分方程组。
• 引入谐波强迫项（δ₁cos(ω₁t)，δ₂cos(ω₂t)）以建模周期性投资与创新技术输入。
• 应用Adams-Bashforth-Moulton（ABM）预测-校正方法进行数值求解，确保整数阶情况下达到二阶精度，分数阶情况下达到µ = 1.8的精度。
• 采用双网格细化方法（Runge法则）估计数值误差并验证收敛速率。
• 利用数值解构建相轨迹，可视化动态行为，包括极限环与混沌吸引子。
• 通过重现经典Dubovsky模型（α₁ = α₂ = 1，δ₁ = δ₂ = 0）作为特例，对模型进行验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过分数阶导数建模的记忆效应，相较于经典模型，如何改变Kondratyev长期波的动力学行为？
• RQ2 周期性投资与创新技术输入对规则性与混沌性经济周期的出现有何影响？
• RQ3 所提出的ABM方法能否可靠地模拟广义分数阶模型，实现高精度与高稳定性？
• RQ4 在何种参数条件下，模型会从规则极限环行为转变为混沌动力学？
• RQ5 ABM方法在不同分数阶α₁与α₂下的收敛速率与误差估计表现如何？

主要发现

• 广义模型成功将经典Dubovsky模型（α₁ = α₂ = 1，δ₁ = δ₂ = 0）作为特例重现，验证了数值方法的有效性。
• 对于经典模型（α₁ = α₂ = 1），ABM方法在N = 320时达到收敛阶px ≈ 2.04与py ≈ 2.00，证实了二阶精度。
• 对于分数阶情形（α₁ = 0.9，α₂ = 0.8），方法达到收敛阶µ = 1.8，在N = 320时px ≈ 1.81与py ≈ 1.79，与理论预期一致。
• 相轨迹显示，当引入记忆效应与谐波输入时，模型产生复杂的极限环，偏离简单周期轨道。
• 在特定参数设置下（如δ₁ = δ₂ = 1，ω₁ = ω₂ = 0.5），混沌吸引子出现，表明模型可捕捉不规则、非周期性的经济动态。
• 模型同时表现出规则与混沌行为，证明记忆效应与创新输入可驱动超越确定性周期的复杂经济行为。