[论文解读] Numerical Proof of Self-Similarity in Burgers' Turbulence

Erik Aurell, С. Н. Гурбатов+1 more|ArXiv.org|Feb 23, 1996

Meteorological Phenomena and Simulations参考文献 14被引用 3

一句话总结

该论文通过黏性Burgers方程的数值模拟，对大时间下Burgers湍流的自相似性进行了数值验证，初始速度场为平稳高斯过程。结果确认了能量衰减的对数修正项，符合渐近分析结果，并在功率谱密度中展现出自相似标度，与渐近理论一致，同时改进了量纲分析的预测。

ABSTRACT

We study the statistical properties of solutions to Burgers' equation, $v_t + vv_x = νv_{xx}$, for large times, when the initial velocity and its potential are stationary Gaussian processes. The initial power spectral density at small wave numbers follows a steep power-law $E_0(k) \sim |k|^n$ where the exponent $n$ is greater than two. We compare results of numerical simulations with dimensional predictions, and with asymptotic analytical theory. The theory predicts self-similarity of statistical characteristics of the turbulence, and also leads to a logarithmic correction to the law of energy decay in comparison with dimensional analysis. We confirm numerically the existence of self-similarity for the power spectral density, and the existence of a logarithmic correction to the dimensional predictions.

研究动机与目标

• 研究Burgers方程在大时间下的统计特性。
• 在特定初始条件下，检验湍流统计特性中自相似性的有效性。
• 将数值结果与量纲分析和渐近解析理论进行比较。
• 验证渐近理论预测的能量衰减律中对数修正项的存在性。
• 确认惯性区内功率谱密度的自相似标度行为。

提出的方法

• 对黏性Burgers方程 $v_t + vv_x = \nu v_{xx}$ 进行数值模拟，初始速度和势能为平稳高斯过程。
• 采用初始功率谱密度 $E_0(k) \sim |k|^n$，其中 $n > 2$，以模拟小波数处的陡峭幂律行为。
• 将模拟结果与量纲分析和渐近解析理论的预测进行比较。
• 分析功率谱密度，以检验其随时间的自相似标度行为。
• 评估能量衰减速率，以检测超出标准量纲预测的对数修正项。
• 应用统计方法评估速度场结构在不同时间尺度下的标度不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Burgers湍流的统计结构在大时间下是否表现出自相似性？
• RQ2 是否存在量纲分析预测的能量衰减速率的对数修正项？
• RQ3 数值模拟在多大程度上证实了渐近解析理论对功率谱密度的预测？
• RQ4 初始功率谱密度 $E_0(k) \sim |k|^n$（$n > 2$）如何影响自相似动力学的出现？
• RQ5 能否在惯性区内对功率谱密度的自相似标度进行数值验证？

主要发现

• 数值模拟证实了Burgers湍流在大时间下功率谱密度的自相似标度行为。
• 能量衰减速率相对于量纲分析预测值表现出对数修正项，与渐近理论预测一致。
• 自相似行为在不同时间尺度上保持一致，支持渐近相似性的理论框架。
• 初始条件中 $E_0(k) \sim |k|^n$（$n > 2$）可形成明确的惯性区，自相似性在此区域中显现。
• 数值结果与解析预测的一致性，验证了渐近理论在描述Burgers方程长时统计行为中的适用性。
• 本研究为在一维Burgers湍流中，高斯初始数据下的自相似解的普适性提供了强有力的数值证据。