[论文解读] Numerical radius inequalities concerning with algebraic norms

Ali Zamani, Mohammad Sal Moslehian+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2019

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文通过使用任意自伴代数范数 $ N $ 引入广义数值半径 $ w_N(T) $，推广了经典的数值半径不等式。推导出 $ w_N(T) $ 的紧致上界和下界，建立了关于算子乘积的新不等式，并通过一种新颖的范数 $ \Omega(T) $ 改进已知结果，如 Kittaneh 和 Dragomir 的不等式，从而得到涉及 $ \|TT^* + T^*T\| $ 和 $ w(T^2) $ 的更紧致界。主要贡献在于构建了一个统一框架，以改进和推广现有的数值半径估计。

ABSTRACT

We give an expression for a generalized numerical radius of Hilbert space operators and then apply it to obtain upper and lower bounds for the generalized numerical radius. We also establish some generalized numerical radius inequalities involving the product of two operators. Applications of our inequalities are also provided.

研究动机与目标

• 通过任意自伴代数范数推广经典数值半径。
• 为广义数值半径 $ w_N(T) $ 推导新的上界和下界。
• 建立关于两个算子乘积的不等式，以 $ w_N(T) $ 表示。
• 改进现有的数值半径不等式，特别是 Kittaneh 和 Dragomir 的结果。
• 将结果应用于希尔伯特-施密特算子，并推导基于迹的不等式。

提出的方法

• 为自伴代数范数 $ N $ 定义广义数值半径 $ w_N(T) = \sup_{\theta \in \mathbb{R}} N(\operatorname{Re}(e^{i\theta}T)) $。
• 利用笛卡尔分解 $ T = \operatorname{Re}(T) + i\operatorname{Im}(T) $，将 $ w_N(T) $ 表示为 $ \operatorname{Re}(T) $ 与 $ \operatorname{Im}(T) $ 的实线性组合的上确界。
• 应用柯西-施瓦茨不等式，以 $ N(\operatorname{Re}(e^{i\varphi}T)) $ 和 $ N(\operatorname{Im}(e^{i\varphi}T)) $ 有界 $ w_N(T) $，从而得到这些分量的 $ \ell^2 $-范数在 $ \varphi \in \mathbb{R} $ 上的下确界。
• 定义一种新范数 $ \Omega(T) = \sup_{|\zeta|^2 + |\eta|^2 \leq 1} \|\zeta T + \eta T^*\| $，其为自伴且代数性质的，并利用它来改进经典不等式。
• 建立恒等式 $ w_{\Omega}(T) = \sqrt{2} w(T) $，将广义数值半径与经典数值半径联系起来。
• 将该框架应用于希尔伯特-施密特范数 $ \|\cdot\|_2 $，推导出关于 $ w_2(T) $ 的基于迹的不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过任意自伴代数范数推广经典数值半径？
• RQ2 广义数值半径 $ w_N(T) $ 的最紧致上界和下界是什么？
• RQ3 能否利用此广义框架推导出两个算子乘积的新不等式？
• RQ4 新范数 $ \Omega(T) $ 如何改进如 Kittaneh 和 Dragomir 等人的已有不等式？
• RQ5 该框架对希尔伯特-施密特算子及其基于迹的恒等式有何影响？

主要发现

• 对于任意自伴代数范数 $ N $，广义数值半径满足 $ \frac{1}{2}N(T) \leq w_N(T) \leq N(T) $。
• 不等式 $ w_N(T) \leq \inf_{\varphi \in \mathbb{R}} \sqrt{N^2(\operatorname{Re}(e^{i\varphi}T)) + N^2(\operatorname{Im}(e^{i\varphi}T))} $ 提供了紧致上界。
• 范数 $ \Omega(T) $ 满足 $ \Omega(T) \leq \sqrt{\|TT^* + T^*T\|} $ 且 $ \Omega(T) \leq \sqrt{\|T\|^2 + w(T^2)} $，从而改进了已知界。
• 恒等式 $ w_{\Omega}(T) = \sqrt{2} w(T) $ 导出不等式 $ w(T) \leq \frac{\sqrt{2}}{2} \Omega(T) \leq \frac{\sqrt{2}}{2} \min\left\{ \sqrt{\|TT^* + T^*T\|}, \sqrt{\|T\|^2 + w(T^2)} \right\} $，该不等式同时改进了 Kittaneh 和 Dragomir 的不等式。
• 对于正规算子，有 $ \Omega(T) = \sqrt{2} \|T\| $；对于幂零平方为零的算子，有 $ w_{\Omega}(T) = \frac{\sqrt{2}}{2} \Omega(T) $，这在极端情形下验证了结果的紧致性。
• 对于希尔伯特-施密特算子，恒等式 $ w_2(T) = \frac{1}{2}\|T\|_2^2 + \frac{1}{2}|\operatorname{tr}(T^2)| $ 导出基于迹的不等式，包括 $ \|TT^* + T^*T\|_2 + \sup_{\varphi} |\operatorname{tr}((e^{i\varphi}T)^2 + (e^{-i\varphi}T^*)^2)| \leq 2(\|T\|_2^2 + |\operatorname{tr}(T^2)|) $。