[论文解读] Numerical simulation of parabolic moving and growing interface problems using small mesh deformation

Ulrich Langer, Huidong Yang|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2015

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 21被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于ALE的新颖数值方法，用于在3D中求解具有大变形和生长的抛物型移动/生长界面问题，通过在由四面体和八面体组成的宏观单元上进行小范围局部网格变形。通过结合界面捕捉与代数多重网格求解器，该方法在大变形和生长情况下表现出稳健性能，所有变量同时处理的AMG预条件共轭梯度法在数值测试中展现出最优的CPU效率。

ABSTRACT

In this work, we develop a cutting method for solving problems with moving and growing interfaces in 3D. This new method is able to resolve large displacement or deformation of immersed objects by combining the Arbitrary Lagrangian-Eulerian method with only small local mesh deformation defined on the reference domain, that is decomposed into the macro-elements. The linear system of algebraic equations arising after the temporal and spatial discretizations of a model parabolic interface heat-conduction-like problem with vector-valued functions is solved by either an all-at-once or a segregated algebraic multigrid method.

研究动机与目标

• 开发一种稳定且高效的数值方法，用于模拟3D中具有大位移或大变形的抛物型界面问题。
• 解决传统ALE方法在处理由大变形引起的严重网格畸变时的局限性。
• 通过仅在参考宏观单元分解上使用小范围局部网格变形，保持高精度和高效性。
• 比较所有变量同时处理与分离式代数多重网格求解器在所得线性系统中的性能表现。
• 通过向量值热传导类问题，验证该方法在移动刚体和生长界面模拟中的鲁棒性。

提出的方法

• 该方法采用将参考域分解为宏观单元，每个宏观单元由四个四面体和一个八面体组成，以实现局部网格变形。
• 将固定网格ALE方法与通过预计算移动/生长物体与背景四面体单元之间交线的界面捕捉方法相结合。
• 模型问题涉及一个向量值解u，满足具有在Ω₁和Ω₂中分别为a₁和a₂的不连续扩散系数的抛物型界面方程。
• 时间与空间离散化产生一个大型线性系统，通过所有变量同时处理或分离式代数多重网格（AMG）方法求解。
• 对共轭梯度（CG）和GMRES求解器应用AMG预条件器，以处理单体系统和Schur补系统。
• 通过在宏观单元上使用分段线性有限元基函数，避免引入额外自由度。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有大位移的3D抛物型界面问题中，宏观单元上的小范围局部网格变形是否能维持网格质量和精度？
• RQ2 所有变量同时处理的AMG预条件CG方法在收敛性和计算成本方面与分离式AMG预条件CG和GMRES方法相比表现如何？
• RQ3 所提出的界面捕捉方法是否能有效处理无额外自由度的生长界面？
• RQ4 在求解时间依赖界面问题产生的线性系统时，CG、GMRES和分离式方法的相对效率如何？
• RQ5 该方法是否能鲁棒地模拟复杂3D域中浸入物体的刚体运动和各向同性生长？

主要发现

• 所有变量同时处理的AMG预条件CG方法在移动和生长界面模拟中均实现了最优的CPU时间效率。
• AMG预条件GMRES方法在迭代次数方面表现最佳，表明每步迭代收敛速度更快。
• 分离式方法在迭代次数方面与所有变量同时处理方法表现相当，尽管其CPU时间更高。
• 对于移动物体情形，GMRES方法所需迭代次数最少（收敛最快），而CG方法的CPU时间最低。
• 对于生长球体情形，性能排名保持一致：GMRES方法迭代次数最佳，CG方法CPU时间最低，分离式方法表现出中等效率。
• 所有模拟中相对残差误差均保持在1e-9以下，证实了线性求解器的鲁棒收敛性。