[论文解读] Numerical solution for fractional model of telegraph equation by using q-HATM

P. Veeresha, D. G. Prakasha|arXiv (Cornell University)|May 8, 2018

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 23被引用 10

一句话总结

本文提出q-同伦分析变换法（q-HATM）以数值求解分数阶霍尔姆斯方程。该方法通过调节收敛控制参数生成快速收敛的级数解，在较短的计算区域内表现出高精度与高效率，数值实例验证了其在分数阶模型中的可靠性。

ABSTRACT

The pivotal aim of the present work is to demonstrate an efficient analytical technique, called q-homotopy analysis transform method (q-HATM) in order to analyse a fractional model of telegraph equations. Numerical examples are illustrated to examine the efficiency of the proposed technique. The numerical solutions are obtained in the form of a series solution. The proposed method manipulates and controls the series solution, which rapidly converges to the exact solution in a short admissible domain in an efficient manner.

研究动机与目标

• 开发一种高效解析技术以求解分数阶霍尔姆斯方程。
• 展示q-HATM在处理非线性分数阶微分方程方面的有效性。
• 以快速收敛级数的形式提供可靠的数值解。
• 通过辅助参数控制和调节级数解的收敛区域与收敛速率。
• 通过数值实例与精确解对比验证该方法。

提出的方法

• q-HATM将同伦分析法（HAM）与拉普拉斯变换相结合，以处理霍尔姆斯方程中的分数阶导数。
• 该方法通过引入收敛控制参数'h'和辅助参数'q'构造级数解，以调节收敛行为。
• 分数阶导数采用Caputo定义建模，使初始条件可表示为整数阶形式。
• 解以无穷级数形式表达，其收敛性通过辅助参数进行控制。
• 该方法通过迭代应用，可在短区域内获得高精度的近似解。
• 通过与精确解对比及残差误差分析，对数值结果进行验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 q-HATM能否以高精度高效求解分数阶霍尔姆斯方程？
• RQ2 收敛控制参数如何影响级数解的收敛区域与收敛速率？
• RQ3 q-HATM在分数阶霍尔姆斯模型中与精确解相比表现如何？
• RQ4 该方法如何处理分数阶霍尔姆斯方程中的非线性项？
• RQ5 q-HATM能否在短计算区域内产生可靠解？

主要发现

• q-HATM为分数阶霍尔姆斯方程生成了快速收敛的级数解，即使迭代次数有限亦可实现。
• 该方法表现出高精度，数值结果在所有测试实例中均与精确解高度吻合。
• 收敛控制参数'h'能有效调节收敛区域，实现最优解行为。
• 引入辅助参数'q'增强了对级数收敛性的灵活性与控制能力。
• 该方法在短计算区域内保持高效与稳定，降低了计算成本。
• 数值实例验证了q-HATM在求解分数阶微分方程方面的可靠性与鲁棒性。