[论文解读] Numerical solution of fractional order diffusion problems with Neumann boundary conditions

Béla J. Szekeres, Ferenc Izsák|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2014

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文提出了一种使用移位Grünwald–Letnikov逼近求解具有Neumann边界条件的一维分数阶扩散方程的有限差分方法。该方法建立了将初值扩展以满足齐次Neumann条件的数学框架，证明了由此产生的问题的适定性，并展示了隐式Euler格式的收敛性，且分数阶导数算子具有闭式矩阵表示。

ABSTRACT

A finite difference numerical method is investigated for fractional order diffusion problems in one space dimension. For this, a mathematical model is developed to incorporate homogeneous Dirichlet and Neumann type boundary conditions. The models are based on an appropriate extension of the initial values. The well-posedness of the obtained initial value problems is proved and it is pointed out that the extensions are compatible with the above boundary conditions. Accordingly, a finite difference scheme is constructed for the Neumann problem using the shifted Grünwald--Letnikov approximation of the fractional order derivatives, which is based on infinite many basis points. The corresponding matrix is expressed in a closed form and the convergence of an appropriate implicit Euler scheme is proved.

研究动机与目标

• 为在分数阶扩散问题中一致建模齐次Neumann边界条件与Dirichlet边界条件提出数学上一致的方法。
• 解决分数阶导数非局部性带来的挑战，即需要计算域外部的值。
• 基于移位Grünwald–Letnikov公式，构建一个稳定且收敛的Neumann问题有限差分格式。
• 证明由扩展初值与边界条件构成的初值问题的适定性。
• 为具有Neumann条件的分数阶扩散方程的隐式Euler半离散化提供完整的误差分析。

提出的方法

• 通过在实直线上利用周期性与对称性将初值扩展，以满足Neumann边界条件，从而构建数学模型。
• 通过实直线上Riemann–Liouville积分与导数定义Riesz分数阶导数，实现对非局部算子的一致处理。
• 应用移位Grünwald–Letnikov逼近对分数阶导数进行离散化，系数由二项式展开导出。
• 将所得离散算子表示为闭式矩阵形式，从而实现高效的数值实现。
• 在时间方向应用隐式Euler格式，并通过能量估计与谱分析严格证明其收敛性。
• 通过von Neumann分析以及利用三角恒等式分析放大因子，建立稳定性和收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在具有非局部导数的分数阶扩散方程中一致地引入齐次Neumann边界条件？
• RQ2 在分数阶导数背景下，何种初值扩展方式可确保与Neumann边界条件相容？
• RQ3 能否证明基于移位Grünwald–Letnikov公式的有限差分格式在Neumann问题中具有收敛性？
• RQ4 离散分数阶导数算子的谱结构是什么，其如何影响稳定性？
• RQ5 对于具有Neumann条件的分数阶扩散方程，隐式Euler格式在收敛阶方面表现如何？

主要发现

• 所提出的初值向实直线的扩展确保了与齐次Neumann边界条件的相容性，并支持了适定初值问题的定义。
• 离散分数阶导数算子以闭式矩阵形式表示，有利于高效数值求解。
• 应用于Neumann问题的隐式Euler格式被证明是无条件收敛的，时间方向具有第一阶精度。
• von Neumann稳定性分析确认，在给定公式下该格式是无条件稳定的。
• 离散算子的特征值被证明为实数且非正，支持了稳定性与收敛性结果。
• 通过谱分析与能量估计确认，该方法在空间与时间方向均达到最优收敛速率。