[论文解读] Numerical Solution of Stochastic Partial Differential Equations with Correlated Noise

Dirk Blömker, Minoo Kamrani|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文提出了一种用于带有相关、非对角彩色噪声的随机偏微分方程（SPDEs）的数值格式，采用谱伽辽金空间半离散化方法与Jentzen & Kloeden提出的时间推进方法。在数值解一致有界的前提下，建立了路径连续收敛性，空间收敛率为 $ N^{-rac{1}{2}} $，时间收敛率为 $ ( abla t)^{rac{1}{4}} $，将先前结果推广至一般非线性项与相关噪声结构。

ABSTRACT

In this paper we investigate the numerical solution of stochastic partial differential equations (SPDEs) for a wider class of stochastic equations. We focus on non-diagonal colored noise instead of the usual space-time white noise. By applying a spectral Galerkin method for spatial discretization and a numerical scheme in time introduced by Jentzen $\&$ Kloeden, we obtain the rate of path-wise convergence in the uniform topology. The main assumptions are either uniform bounds on the spectral Galerkin approximation or uniform bounds on the numerical data. Numerical examples illustrate the theoretically predicted convergence rate.

研究动机与目标

• 将SPDEs带有彩色噪声的数值分析从时空白噪声和不相关布朗运动的情形扩展至更一般情形。
• 为具有非对角、相关噪声的SPDEs建立在一致拓扑下的路径连续收敛性。
• 推导结合谱伽辽金与时间推进格式的时空半离散化方法的收敛速率。
• 通过局部Lipschitz非线性项与多项式增长条件下的数值实例验证理论结果。

提出的方法

• 利用拉普拉斯算子的特征函数对空间进行谱伽辽金半离散化。
• 基于Jentzen & Kloeden为随机微分方程提出的数值格式进行时间离散化。
• 通过数值解或伽辽金逼近的一致有界性控制误差传播。
• 应用能量型先验估计以验证谱方法的一致有界性。
• 通过不与线性算子 $ A $ 交换的协方差算子引入相关噪声。
• 通过Cholesky分解实现有限维逼近中相关布朗运动的生成。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一致拓扑下，带有相关、非对角噪声的SPDEs的数值解收敛速率是多少？
• RQ2 对于具有局部Lipschitz非线性项的SPDEs，如何建立数值逼近的一致有界性？
• RQ3 谱伽辽金方法与时间离散化结合能否实现带有彩色噪声的SPDEs的路径连续收敛？
• RQ4 噪声协方差算子与线性算子不交换对收敛行为有何影响？
• RQ5 数值实验如何在实践中验证理论收敛速率？

主要发现

• 本文建立了带有相关噪声的SPDEs数值解在一致拓扑下的路径连续收敛性。
• 在一致有界性假设下，空间收敛率为 $ O(N^{-rac{1}{2}}) $，时间收敛率为 $ O(( abla t)^{rac{1}{4}}) $。
• 数值实例验证了空间离散化参数 $ N $ 的理论收敛速率 $ rac{1}{2} $，如图3所示。
• 一致有界性假设使得处理满足局部Lipschitz条件与多项式增长的非线性项成为可能。
• 该方法适用于超越Burgers方程的一般SPDEs，包括高维区域与不同边界条件。
• 通过Cholesky分解实现的算法成功生成了相关布朗运动，从而准确模拟了噪声结构。