[论文解读] Numerical solution of the incompressible Navier-Stokes equations for chemical mixers via quantum-inspired Tensor Train Finite Element Method

Egor Kornev, Sergey Dolgov+4 more|arXiv (Cornell University)|May 18, 2023

Computational Physics and Python Applications被引用 4

一句话总结

本文提出TetraFEM，一种受量子计算启发的张量列车有限元方法，用于求解复杂T型混合器几何结构中的不可压缩Navier-Stokes方程。通过将有限元矩阵表示为量化张量列车（QTT）格式，该方法在传统FEM基础上实现了指数级内存压缩与加速，且可通过TT舍入容差实现精度的可控调节。

ABSTRACT

The solution of computational fluid dynamics problems is one of the most computationally hard tasks, especially in the case of complex geometries and turbulent flow regimes. We propose to use Tensor Train (TT) methods, which possess logarithmic complexity in problem size and have great similarities with quantum algorithms in the structure of data representation. We develop the Tensor train Finite Element Method -- TetraFEM -- and the explicit numerical scheme for the solution of the incompressible Navier-Stokes equation via Tensor Trains. We test this approach on the simulation of liquids mixing in a T-shape mixer, which, to our knowledge, was done for the first time using tensor methods in such non-trivial geometries. As expected, we achieve exponential compression in memory of all FEM matrices and demonstrate an exponential speed-up compared to the conventional FEM implementation on dense meshes. In addition, we discuss the possibility of extending this method to a quantum computer to solve more complex problems. This paper is based on work we conducted for Evonik Industries AG.

研究动机与目标

• 解决使用传统FEM模拟复杂几何结构（如T型混合器）中流体流动时计算成本过高的问题。
• 克服在瞬态流动模拟中密集网格离散化带来的内存与运行时间瓶颈。
• 开发一种基于张量的数值格式，实现FEM矩阵的指数级压缩与更快速的求解时间。
• 探索将该方法扩展至量子计算的可行性，以处理高阶解。
• 在具有实验验证的非平凡T型混合器基准问题上，展示该方法的准确性和高效性。

提出的方法

• 将T型混合器区域划分为曲边四边形单元，并将其映射到参考单元以进行局部矩阵组装。
• 使用有限元方法构建局部刚度、质量及一阶导数矩阵，并组装为全局矩阵。
• 将所有FEM矩阵与解向量以量化张量列车（QTT）格式表示，以利用其低秩结构。
• 采用TT格式运算实现不可压缩Navier-Stokes方程的显式时间推进格式。
• 应用TT舍入与TT-交叉逼近技术对矩阵进行压缩，并控制解的精度。
• 在TT格式下使用矩阵-向量乘法（MatVec）与线性系统求解器，高效计算时间推进的解。

实验结果

研究问题

• RQ1 张量列车方法能否有效应用于复杂非矩形流体流动域（如T型混合器）？
• RQ2 TT格式表示在Navier-Stokes模拟中，对FEM矩阵的内存使用量减少与求解时间加速程度如何？
• RQ3 TT舍入容差如何影响解的精度与计算速度之间的权衡？
• RQ4 基于TT的数值格式能否高效扩展至量子计算机运行？
• RQ5 与传统FEM及实验数据相比，该方法是否保持了物理上的准确性？

主要发现

• 所提出的TetraFEM方法实现了所有FEM矩阵的指数级压缩，与传统FEM相比显著降低了内存使用量。
• 在密集网格上，与传统FEM相比，计算时间实现了指数级加速，尤其在高分辨率模拟中表现显著。
• TetraFEM与传统FEM解之间的相对误差可控，且随TT舍入容差减小而降低，在32×32网格上当ε = 1e-4时误差低于1%。
• 由于流动复杂性增加，压力向量的TT秩随时间增长，表明解的相关性在增强。
• 该方法成功再现了T型混合器中的物理流动行为，其解与实验数据吻合良好。
• 该框架可扩展至量子计算，在高阶TT解上操作时，得益于量子并行性与高效的态制备，其规模可有利扩展。