[论文解读] Numerical solution of variable order fractional differential equations

John T. Katsikadelis|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2018

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 12被引用 12

一句话总结

本文提出了一种使用Caputo型变阶分数阶导数求解变阶分数阶微分方程（VO-FDEs）的数值方法。该方法提出了一种简单的变阶导数近似，并开发了一种简单且计算高效的算法，适用于线性和非线性VO-FDEs，包括具有变系数的方程，通过求解变阶振子和Duffing方程的数值解，展示了其高精度和有效性。

ABSTRACT

A method for the numerical solution of variable order (VO) fractional differential equations (FDE) is presented. The method applies to linear as well as to nonlinear VO-FDEs. The Caputo type VO fractional derivative is employed. First, an simple expression, which approximates the VO fractional derivative, is established and then a procedure based on this approximation is developed to solve VO-FDEs linear and nonlinear, both explicit and implicit. VO-FDEs with variable coefficients are also treated. The method is illustrated by solving the second order VO-FDE describing the response of the VO fractional oscillator, linear and nonlinear (Duffing). However, it can be straightforwardly extended to higher order VO-FDEs. The presented method, in addition to its effectiveness, is simple to implement and program on a computer. The obtained results validate the efficiency and accuracy of the developed method

研究动机与目标

• 开发一种可靠且高效的数值方法，用于求解变阶分数阶微分方程（VO-FDEs）。
• 将现有的常阶FDE数值技术扩展至处理变阶导数。
• 解决线性和非线性VO-FDEs，包括隐式和显式形式。
• 在统一框架内处理VO-FDEs中的变系数。
• 提供一种简单、可实现的算法，适用于编程和广泛使用。

提出的方法

• 推导了Caputo型变阶分数阶导数的新解析近似。
• 该近似使得VO-FDEs能够通过配点法或离散化转换为代数方程组。
• 该方法采用分段多项式近似来表示解及其导数。
• 通过逐步数值过程应用该算法，保持稳定性和收敛性。
• 通过将高阶VO-FDEs约化为一阶方程组，将该方法推广至处理更高阶VO-FDEs。
• 该方法使用标准数值例程实现，确保编程简便性和计算效率。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为Caputo意义下的变阶分数阶导数构建一致且准确的近似？
• RQ2 何种数值过程能够有效求解具有变系数的线性和非线性VO-FDEs？
• RQ3 所提出的方法能否在包括二阶系统在内的各种VO-FDEs中保持高精度和稳定性？
• RQ4 与现有VO-FDE数值方法相比，该方法在性能和精度方面表现如何？
• RQ5 该方法在多大程度上可推广至更高阶VO-FDEs？

主要发现

• 所提出的方法在求解变阶分数阶振子的二阶VO-FDE时实现了高精度。
• 该方法成功捕捉了具有变阶导数的Duffing振子的非线性动力学行为。
• 数值结果证实了该方法在各种测试案例中的稳定性和收敛性。
• 该算法计算高效且易于编程，适用于实际实现。
• 该方法在处理显式和隐式VO-FDEs方面表现出鲁棒性。
• 结果验证了该方法在具有变系数的VO-FDEs中的有效性，扩展了其适用范围。