[论文解读] Numerical Solutions Of Heat Diffusion Equation Over One Dimensional Rod Region

Mehran Makhtoumi|arXiv (Cornell University)|May 30, 2017

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 6被引用 7

一句话总结

本文提出对一维细杆热扩散方程求解中同伦摄动法（HPM）与有限差分法（FDM）的比较。与精确解对比验证时，HPM 提供了比 FDM 更精确且更高效的近似解，表明其作为偏微分方程数值技术的优越性。

ABSTRACT

<strong>Adaptive methods for derivation of analytical and numerical solutions of heat diffusion in one dimensional thin rod have investigated. Comperhensive comparsion analysis based on the homotopy perturbation method (HPM) and finite difference method (FDM) have been applied to the rod PDE system. The results show that performing HPM will eventuate more precision and satisfactory approximations at reasonable time than those obtained from FDM when compared to exact solution results. Also since solutions are originated from the problems in HPM thus it is convenient to express them with different functions which conclude that homotopy perturbation is a powerful numerical technique for solving partial differential equations.</strong>

研究动机与目标

• 研究用于推导一维细杆中热扩散的解析解与数值解的自适应方法。
• 比较同伦摄动法（HPM）与有限差分法（FDM）在求解杆体 PDE 系统时的性能表现。
• 评估 HPM 与 FDM 在逼近精确解时的精度与计算效率。
• 展示 HPM 在通过多种函数形式表达解方面的多功能性。

提出的方法

• 本研究应用同伦摄动法（HPM）推导一维热扩散 PDE 的近似解析解与数值解。
• 有限差分法（FDM）被用作数值比较的基准。
• HPM 与 FDM 的解均通过热扩散方程的精确解析解进行验证。
• 比较重点在于精度、收敛速度以及解表示形式的灵活性。
• HPM 通过构建一个同伦，将原 PDE 逐步变形为更简单的方程，从而实现迭代逼近。
• 该方法允许使用不同的数学函数表示解，增强了方法的适应性。

实验结果

研究问题

• RQ1 同伦摄动法（HPM）与有限差分法（FDM）在求解一维热扩散方程时相比如何？
• RQ2 HPM 近似解相对于热扩散 PDE 精确解的精度如何？
• RQ3 HPM 在计算时间与收敛速度方面相较于 FDM 的效率如何？
• RQ4 HPM 是否能够通过多种函数形式表达解，从而增强其适用性？

主要发现

• 与精确解对比时，HPM 产生的近似解比 FDM 更精确且更令人满意。
• HPM 在计算时间更短的前提下实现了更高的精度，优于 FDM。
• 通过 HPM 推导出的解可自然地以多种数学函数形式表达，提升了可解释性与灵活性。
• 结果证实 HPM 是求解偏微分方程的一种强大且高效的技术。
• 比较结果表明，HPM 在精度与计算效率之间具有显著优势。
• HPM 能够通过不同函数形式生成解，支持其在多样化问题场景中的适应能力。