[论文解读] Numerical Solutions of Reaction-Diffusion Equation Systems with Trigonometric Quintic B-spline Collocation Algorithm

Aysun Tok Onarcan, Nihat Adar+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2017

Differential Equations and Numerical Methods被引用 4

一句话总结

本文提出一种结合Crank-Nicolson时间离散化的三角函数五次B样条配置方法，用于数值求解反应-扩散系统。该方法在较大时间步长下仍能保持高精度与稳定性，成功模拟了Schnakenberg、Gray-Scott和Brusselator模型中的复杂时空模式，线性情况下其误差范数优于标准多重网格求解器，非线性系统中与多项式B样条方法相比保持相当或更优的精度。

ABSTRACT

In this study, the numerical solutions of reaction-diffusion systems are investigated via the trigonometric quintic B-spline nite element collocation method. These equations appear in various disciplines in order to describe certain physical facts, such as pattern formation, autocatalytic chemical reactions and population dynamics. The Schnakenberg, Gray-Scott and Brusselator models are special cases of reaction-diffusion systems considered as numerical examples in this paper. For numerical purposes, Crank-Nicolson formulae are used for the time discretization and the resulting system is linearized by Taylor expansion. In the finite element method, a uniform partition of the solution domain is constructed for the space discretization. Over the mentioned mesh, dirac-delta function and trigonometric quintic B-spline functions are chosen as the weighted function and the bases functions, respectively. Thus, the reaction-diffusion system turns into an algebraic system which can be represented by a matrix equation so that the coeffcients are block matrices containing a certain number of non-zero elements in each row. The method is tested on different problems. To illustrate the accuracy, error norms are calculated in the linear problem whereas the relative error is given in other nonlinear problems. Subject to the character of the nonlinear problems, the occurring spatial patterns are formed by the trajectories of the dependent variables. The degree of the base polynomial allows the method to be used in high-order differential equation solutions. The algorithm produces accurate results even when the time increment is larger. Therefore, the proposed Trigonometric Quintic B-spline Collocation method is an effective method which produces acceptable results for the solutions of reaction-diffusion systems.

研究动机与目标

• 开发一种用于求解具有复杂时空动力学的反应-扩散系统的鲁棒数值方法。
• 研究三角函数五次B样条在逼近偏微分方程中至四阶导数解方面的性能。
• 从精度与效率角度，将所提方法与现有的多项式五次B样条配置法及Crank-Nicolson多重网格求解器进行比较。
• 利用新算法模拟并分析Gray-Scott模型中的自复制斑点模式。
• 展示该方法在处理非线性反应项与非均匀边界条件方面的能力。

提出的方法

• 该方法在Galerkin有限元配置框架中采用三角函数五次B样条作为基函数，Dirac-delta函数作为权函数。
• 时间离散化采用Crank-Nicolson格式，确保二阶精度与无条件稳定性。
• 通过泰勒展开对反应-扩散系统中的非线性项进行线性化，以实现对所得代数系统的迭代求解。
• 空间区域被均匀划分，系统的弱形式被转化为具有带状结构的块矩阵方程，以实现高效求解。
• 该方法支持Dirichlet与Neumann边界条件，各模型系统均指定初始条件。
• 对Gray-Scott模型的数值解计算至t=1000，采用误差范数与相对误差评估精度。

实验结果

研究问题

• RQ1 三角函数五次B样条配置能否为具有复杂模式形成的非线性反应-扩散系统提供准确且稳定的解？
• RQ2 与多项式五次B样条配置法及Crank-Nicolson多重网格求解器相比，该方法在精度与效率方面表现如何？
• RQ3 在标准参数下，该方法在多大程度上能够捕捉Gray-Scott模型中的自复制斑点模式？
• RQ4 使用三角函数B样条是否能实现更高阶的连续性，并改善解中导数的逼近效果？
• RQ5 该方法是否能在较大时间步长下保持精度，从而降低计算成本？

主要发现

• 所提三角函数五次B样条配置方法在线性测试问题中，其误差范数低于多项式五次B样条配置法与Crank-Nicolson多重网格求解器，表明其精度相当或更优。
• 在非线性Gray-Scott模型中，该方法成功再现了自复制斑点模式：初始脉冲分裂为四个，随后随时间继续分支，直至t=1000。
• 即使采用相对较大的时间步长Δt=0.2，该方法仍保持稳定与高精度，表明其对时间离散化大小具有鲁棒性。
• Gray-Scott模型中U与V的空间模式从两个初始脉冲演化为复杂的分支状斑点网络，与文献中已知的动力学行为一致。
• 采用三角函数五次B样条可实现四阶连续逼近，从而准确表示系统中高阶导数的特性。
• 所有模型（Schnakenberg、Brusselator、Gray-Scott）的图形结果与已发表的模拟结果在定性上一致，验证了该方法的可靠性。