[论文解读] Numerical solutions of the Dicke Hamiltonian

M. A. Bastarrachea-Magnani, Jorge G. Hirsch|Redalyc (Universidad Autónoma del Estado de México)|Aug 2, 2011

Spectral Theory in Mathematical Physics被引用 10

一句话总结

本文针对辐射场采用福克态与相干态基的数值比较研究了迪克模型哈密顿量。结果表明，相干态基显著降低了计算成本和收敛所需的光子态数量，尤其在超辐射相中表现更优，使大N计算成为可能，且两种基底在物理可观测量上保持一致。

ABSTRACT

We study the numerical solutions of the Dicke Hamiltonian, which describes a system of many two level atoms interacting with a monochromatic radiation field into a cavity. The Dicke model is an example of a quantum collective behavior which shows superradiant quantum phase transitions in the thermodynamic limit. Results obtained employing two different bases are compared. Both of them use the pseudospin basis to describe the atomic states. For the photon states we use in one case Fock states, while in the other case we use a basis built over a particular coherent state, associated to each atomic state. It is shown that, when the number of atoms increases, the description of the ground state of the system in the superradiant phase requires an equivalent number of photons to be included. This imposes a strong limit to the states that can be calculated using Fock states, while the dimensionality needed to obtain convergent results in the other basis decreases when the atomic number increases, allowing calculations that are very difficult in the Fock basis. Naturally, it reduces also the computing time, economizing computing resources. We show results for the energy, the photon number and the number of excited atoms, for the ground and the first excited state.

研究动机与目标

• 开发并比较求解有限尺寸迪克哈密顿量的高效数值方法，该问题对有限N无精确解。
• 解决福克基中光子截断随原子数N增加而恶化导致的计算瓶颈问题。
• 评估基于原子赝自旋态的相干态构建的新基的性能与收敛性。
• 计算并比较基态与第一激发态的关键物理可观测量——能量、光子数与激发原子数。
• 证明利用相干态基研究更大系统中超辐射量子相变的可行性。

提出的方法

• 使用两种不同基——福克态与基于相干态的辐射场基——对迪克哈密顿量进行数值对角化。
• 在福克基中，哈密顿量矩阵通过光子数态|n⟩与原子赝自旋态|j,m⟩构建，矩阵元由标准迪克哈密顿量导出。
• 在相干态基中，光子希尔伯特空间通过与每个原子态关联的相干态|α⟩构建，形成适配于原子构型的基。
• 相互作用项按1/√N缩放，以确保热力学极限的正确性，保持迪克模型的集体性质。
• 通过跟踪随N与耦合强度γ增加的所需光子截断（n_max或N_max）与计算时间，评估计算效率。
• 计算并归一化物理可观测量——能量、光子数⟨a†a⟩与原子激发数⟨J_z⟩——以j = N/2为基准，研究系统尺寸的标度行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在福克基与相干态基中，所需光子截断（n_max或N_max）随原子数N与耦合强度γ的增加如何变化？
• RQ2 相干态基是否能在比福克基更少的态数下实现收敛，特别是在超辐射相中？
• RQ3 在两种基中，基态与第一激发态的能量、光子数与原子激发数如何随γ与N演化？
• RQ4 相干态基在保持物理精度的前提下，能在多大程度上减少计算时间与资源消耗？
• RQ5 相干态基是否能准确再现热力学极限下的已知解析极限与相变特征？

主要发现

• 在福克基中，所需光子数n_max随γ与N迅速增加，当j = 10且γ = 2.0时，n_max超过78，导致大N计算不可行。
• 相比之下，相干态基在j = 10且γ = 2.0时仅需N_max = 13，计算时间显著减少（583.3秒 vs. 2499.96秒）。
• 当j = 20且γ = 2.0时，福克基无法在实际限制内收敛（未报告n_max），而相干基在N_max = 10时实现收敛，计算时间为888.784秒。
• 基态能量随γ单调减小，在临界耦合处出现明显拐点，与超辐射相变一致。
• 基态中光子数的期望值在临界γ处急剧上升，表明超辐射相中存在宏观光子占据。
• 基态中激发原子数⟨J_z⟩在临界耦合处显著下降，证实了从正常相到超辐射相的转变。