[论文解读] Numerical Solver for the out-of-equilibrium time dependent Boltzmann Collision operator: Application to 2D materials

Indrajit Wadgaonkar, Michael Wais+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2021

Quantum and electron transport phenomena参考文献 92被引用 8

一句话总结

本文提出了一种数值稳定、自适应时间步长的求解器，用于二维材料中非平衡态时间依赖的玻耳兹曼碰撞算符，实现了无需近平衡近似条件下的非平衡电子动力学精确模拟。该方法在处理真实的能带结构和散射振幅的同时，精确守恒粒子数、动量和能量，揭示了高能激发比低能激发更快达到热平衡，其热化过程呈现非指数、双指数衰减特征。

ABSTRACT

The Time Dependent Boltzmann equation (TDBE) is a viable option to study strongly out-of-equilibrium thermalization dynamics which are becoming increasingly critical for many novel physical applications like Ultrafast thermalization, Terahertz radiation etc. However its applicability is greatly limited by the impractical scaling of the solution to its scattering integral term. In our previous work\cite{Michael} we had proposed a numerical solver to calculate the scattering integral term in the TDBE and then improved on it\cite{1DPaper} to include second degree momentum discretisation and adaptive time stepping. Our solver requires no close-to-equilibrium assumptions and can work with realistic band structures and scattering amplitudes. Moreover, it is numerically efficient and extremely robust against inherent numerical instabilities. While in our previous work \cite{1DPaper} we showcased the application of our solver to 1D materials, here we showcase its applications to a simple 2D system and analyse thermalisations of the introduced out-of-equilibrium excitations. The excitations added at higher energies were found to thermalise faster than those introduced at relatively lower energies. Also, we conclude that the thermalisation of the out-of-equilibrium population to equilibrium values is not a simple exponential decay but rather a non-trivial function of time. Nonetheless, by fitting a double exponential function to the decay of the out-of-equilibrium population with time we were able to generate quantitative insights into the time scales involved in the thermalisations.

研究动机与目标

• 开发一种数值稳定且高效的求解器，用于强非平衡态下时间依赖玻耳兹曼方程的碰撞积分。
• 在模拟二维材料中电子热化过程时，消除对近平衡近似或弛豫时间近似的依赖。
• 实现使用真实能带结构和散射振幅对掺杂石墨烯等二维系统中超快热化动力学的精确模拟。
• 为研究新型二维材料中非平衡载流子动力学提供一个稳健的框架，相关研究涉及太赫兹和超快光学领域。

提出的方法

• 开发一种数值算法，用于在不线性化碰撞算符的前提下计算时间依赖玻耳兹曼方程中的多维散射积分。
• 通过精心设计的求积和离散化方案，确保粒子数、动量和能量的精确守恒。
• 采用二阶动量离散化以减少数值误差并提高稳定性。
• 采用自适应时间步长以保持精度，并在时间演化过程中防止出现非物理的布居值。
• 求解器能够处理由泡利不相容统计引起的完整四次方碰撞算符，包括所有相空间因子和通过狄拉克δ函数实现的动量守恒。
• 该方法在掺杂石墨烯的二维模型系统上进行了验证，采用真实的电子色散关系和散射振幅。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不依赖近平衡假设的前提下，非平衡态电子激发在如掺杂石墨烯等二维材料中如何实现热化？
• RQ2 非平衡布居的时间演化行为如何？其是否遵循简单的指数衰减？
• RQ3 热化速率如何依赖于系统中初始激发态的能量？
• RQ4 双指数拟合能否准确捕捉热化过程的复杂时间演化？
• RQ5 在超快激发条件下，决定二维材料中电子热化的主要时间尺度是什么？

主要发现

• 在掺杂石墨烯中，高能激发的热化速度明显快于低能激发，表明弛豫动力学具有显著的能量依赖性。
• 非平衡布居的热化过程并不遵循简单的指数衰减，而是表现出复杂且非平凡的时间演化行为。
• 双指数函数能对非平衡布居的衰减过程提供极佳的拟合，从而可定量提取多个弛豫时间尺度。
• 数值求解器在所有模拟步骤中均成功守恒粒子数、动量和能量，表现出对数值不稳定的高鲁棒性。
• 该方法无需任何近平衡近似或弛豫时间假设，能够精确模拟强非平衡态动力学。
• 求解器适用于真实的能带结构和散射振幅，使其适用于研究石墨烯等二维材料中的超快现象。