[论文解读] Numerical study of goal-oriented error control for stabilized finite element methods

Marius Paul Bruchhäuser, Kristina Schwegler+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2018

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 41被引用 6

一句话总结

本文通过将对偶加权残差（DWR）方法与稳定化有限元格式相结合，提出了一种面向对流主导问题的目标导向自适应有限元方法。该方法采用更高阶的对偶问题离散化，实现了对用户定义目标量的鲁棒且可计算的误差控制，在二维和三维基准测试中显著减少了虚假振荡，并使效度指数接近于1。

ABSTRACT

The efficient and reliable approximation of convection-dominated problems continues to remain a challenging task. To overcome the difficulties associated with the discretization of convection-dominated equations, stabilization techniques and a posteriori error control mechanisms with mesh adaptivity were developed and studied in the past. Nevertheless, the derivation of robust a posteriori error estimates for standard quantities and in computable norms is still an unresolved problem and under investigation. Here we combine the Dual Weighted Residual (DWR) method for goal-oriented error control with stabilized finite element methods. By a duality argument an error representation is derived on that an adaptive strategy is built. The key ingredient of this work is the application of a higher order discretization of the dual problem in order to make a robust error control for user-chosen quantities of interest feasible. By numerical experiments in 2D and 3D we illustrate that this interpretation of the DWR methodology is capable to resolve layers and sharp fronts with high accuracy and to further reduce spurious oscillations.

研究动机与目标

• 解决在标准后验误差估计器常失效的对流主导问题中，实现可靠且高效的误差控制的挑战。
• 克服现有稳定化有限元方法后验误差估计中误差范数非鲁棒或不可计算的局限性。
• 开发一种聚焦于用户定义目标量而非全局范数的目标导向自适应策略。
• 通过改进对偶问题的逼近，确保在捕捉层和锐利前缘时的鲁棒性与准确性。
• 在具有复杂速度场的二维和三维对流主导传输问题中，验证该方法的有效性。

提出的方法

• 应用对偶加权残差（DWR）方法，推导稳定化有限元解的目标导向后验误差表示式。
• 对对偶问题使用更高阶的有限元空间，以提高误差估计器的精度，避免低阶对偶逼近带来的缺陷。
• 在原问题中采用基于残差的稳定化（特别是SUPG）以抑制对流主导区域中的虚假振荡。
• 从DWR误差表示式构造可计算的误差指标，该指标通过将局部残量与对偶解值加权结合。
• 基于误差指标执行自适应网格加密与加密，以将自由度集中在最影响目标量的区域。
• 以高于原问题的阶次求解对偶问题，确保即使在层丰富的区域，也能实现可靠且鲁棒的误差估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 高阶对偶离散化是否能提升稳定化有限元方法在对流主导问题中目标导向误差估计的鲁棒性与可靠性？
• RQ2 基于DWR的自适应策略在抑制虚假振荡的同时，对锐利层和前缘的解析效果如何？
• RQ3 所提方法在二维和三维设置下，能否使目标量的效度指数接近于1？
• RQ4 SUPG稳定化与目标导向自适应的结合是否能生成比全局误差控制更高效的网格？
• RQ5 该方法在三维中具有变化对流场和复杂几何结构的问题上表现如何？

主要发现

• 所提方法在所有测试的目标量上均实现了接近于1的效度指数，表明具有高度可靠的误差控制能力。
• 由于对偶问题逼近的改进，数值解中的虚假振荡显著减少，尤其在边界层和内部层区域。
• 在二维和三维测试案例中，自适应网格加密成功地将单元集中在与流动方向对齐的层等关键区域。
• 对于点值和平均值目标函数，即使在初始网格较粗的情况下，该方法也能在目标区域产生高度精确的近似，误差极小。
• 该方法在三维变对流场条件下保持鲁棒性，证明其适用于复杂且真实的传输问题。
• 采用高阶对偶离散化相比低阶对偶逼近，能获得更精确的误差估计，从而减少误差表示中的源误差。