[论文解读] Numerical study of hypergraph product codes

Antoine Grospellier, Anirudh Krishna|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 19被引用 18

一句话总结

本文通过小集合翻转解码算法，数值评估了在独立比特翻转和相位翻转噪声下超图乘积码的性能。对于低速率族（速率 ~1.6%），报告的阈值约为 4.6%；对于更高速率族（速率 20%），阈值为 2%。结果表明，对于大码尺寸，超图乘积码在逻辑错误率方面优于表面码，在 3600 个逻辑量子比特时错误率降低数个数量级。

ABSTRACT

Hypergraph product codes introduced by Tillich and Zémor are a class of quantum LDPC codes with constant rate and distance scaling with the square-root of the block size. Quantum expander codes, a subclass of these codes, can be decoded using the linear time small-set-flip algorithm of Leverrier, Tillich and Zémor. In this paper, we numerically estimate the performance for the hypergraph product codes under independent bit and phase flip noise. We focus on two families of hypergraph product codes. The first family has rate $1/61 \sim 1.6\%$, has qubits of weight $10$ or $12$ and stabilizers of weight $11$. We report a threshold near $4.6\%$ for the small-set-flip decoder. We also show that for similar rate, the performance of the hypergraph product is better than the performance of the toric code as soon as we deal with more than $500$ logical qubits and that for $3600$ logical qubits, the logical error rate for the hypergraph product code is several orders of magnitude smaller. The second family has rate $0.2$, qubits of weight $10$ and $20$ and stabilizers of weight $15$. We report a threshold near $2\%$ for the small-set-flip decoder.

研究动机与目标

• 估算在小集合翻转解码器下，独立比特和相位翻转噪声中超图乘积码的数值阈值。
• 比较随着码尺寸增大，超图乘积码与表面码在逻辑错误率方面的性能表现。
• 评估超图乘积码在大规模量子计算中容错开销方面的实际优势。
• 评估小集合翻转解码器在纠正量子 LDPC 码中随机误差方面的有效性。

提出的方法

• 作者通过取度数为 (5,6) 和 (5,10) 的随机生成双正则二部图的乘积，构建了两族超图乘积码。
• 在不同码块尺寸下，对独立比特和相位翻转噪声进行模拟，物理错误率变化。
• 应用小集合翻转解码算法纠正错误，计算逻辑失败率作为物理错误率和码尺寸的函数。
• 将逻辑错误率与表面码进行基准对比，(5,6) 族使用边长 L=8，(5,10) 族使用边长 L=3，确保等效的逻辑量子比特数量。
• 将阈值估计为逻辑错误率开始随码尺寸增加而指数衰减的物理错误率。
• 使用 Calcul Québec 和 Compute Canada 基础设施，在高性能计算集群上执行模拟。

实验结果

研究问题

• RQ1 当使用小集合翻转算法解码时，超图乘积码在独立比特和相位翻转噪声下的数值阈值是多少？
• RQ2 随着逻辑量子比特数量的增加，超图乘积码的逻辑错误率与表面码相比如何？
• RQ3 在何种码尺寸下，超图乘积码在逻辑错误率方面优于表面码？
• RQ4 超图乘积码的性能特征如何随码率和稳定算符权重变化？

主要发现

• 速率 ~1.6%、量子比特权重为 10 或 12 的超图乘积码族，在独立比特和相位翻转噪声下，其数值阈值约为 4.6%。
• 更高速率的超图乘积码族（速率 20%，量子比特权重为 10 或 20），在相同噪声模型下，其阈值约为 2%。
• 当码尺寸超过 500 个逻辑量子比特时，超图乘积码优于表面码，在 3600 个逻辑量子比特时，逻辑错误率低数个数量级。
• 小集合翻转解码器的性能随码尺寸增大而显著提升，在阈值以上区域，逻辑错误率明显下降。
• 结果表明，超图乘积码在大规模实现中可为容错量子计算带来显著的开销节省。
• 数值阈值与分析下限 2.7×10⁻¹⁶ 一致，但远高于以往估计，表明其具有实际可行性。