[论文解读] Numerical verification of the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture for hyperelliptic curves of higher genus over $\mathbb Q$ up to squares

Raymond van Bommel|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文针对 ℚ 上的高亏格 2、3、4 和 5 的超椭圆曲线的雅可比簇，提供了 Birch 与 Swinnerton-Dyer 猜想的数值验证，将先前仅限于亏格 2 的工作扩展至更高亏格，且不依赖模形式方法。文中提出了一种改进的算法，通过 Néron 微分形式更精确地计算实周期，并在平方意义下验证了该猜想，确认了预测的 Tate–Shafarevich 群阶为有理数平方或其两倍，且在高精度范围内成立。

ABSTRACT

The Birch and Swinnerton-Dyer conjecture has been numerically verified for the Jacobians of 32 modular hyperelliptic curves of genus 2 by Flynn, Leprévost, Schaefer, Stein, Stoll and Wetherell, using modular methods. In the calculation of the real period, there is a slight inaccuracy, which might give problems for curves with non-reduced components in the special fibre of their Néron model. In this present paper we explain how the real period can be computed, and how the verification has been extended to many more hyperelliptic curves, some of genus 3, 4 and 5, without using modular methods.

研究动机与目标

• 将 Birch 与 Swinnerton-Dyer 猜想的数值验证从 ℚ 上的亏格 2 曲线扩展至亏格 3、4 和 5，且不使用模形式理论。
• 通过基于 Néron 微分形式的严格算法，修正先前周期计算中在相对微分层上而非典范层上进行计算的细微错误。
• 在平方意义下验证 BSD 公式，确认由 BSD 公式预测的 Tate–Shafarevich 群阶为有理数平方或其两倍。
• 实现并发布一个 Magma 工具包，通过 Néron 模型特殊纤维的分量群上的伽罗瓦作用来计算 Tamagawa 数。
• 为超椭圆雅可比簇 L-函数的解析延拓与函数方程提供数值验证下的证据。

提出的方法

• 开发了一种显式算法，利用 Néron 微分形式计算实周期，纠正了先前工作中在相对微分层上而非典范层上进行计算的错误。
• 通过反 Mellin 变换方法在 Magma 中实现 L-函数的数值计算，使用 Dokchitser 与 Dokchitser 开发的工具，实现了对特殊值 L(A,1) 的高精度计算。
• 利用算术交点理论与 Mordell–Weil 生成元上的高度配对计算调节子，但由于点寻找高度界受限，其值仅能确定到平方倍数。
• 通过新开发的 Magma 工具包，基于对特殊纤维的分量群上的伽罗瓦作用，通过逐次展开（blow-ups）建模正规 Néron 模型，计算 Tamagawa 数。
• 未直接计算 Tate–Shafarevich 群的阶；而是通过 [PoSt99] 中的标准，检查 BSD 公式中预测的阶是否为有理数平方或其两倍。
• 验证过程假设 L-函数具有解析延拓与函数方程成立，并采用 Ogg 公式计算导子的 2-部分。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用非模形式方法，对 ℚ 上亏格 3、4 和 5 的超椭圆雅可比簇实现 Birch 与 Swinnerton-Dyer 猜想的数值验证？
• RQ2 在 Néron 模型特殊纤维中存在非约化分量的情况下，如何更精确地计算实周期？
• RQ3 当点寻找的高度界不足时，调节子与 Tamagawa 数在多大程度上可以被可靠计算？
• RQ4 由 BSD 公式导出的 Tate–Shafarevich 群阶的预测值，是否位于预期的平方或其两倍的类中？
• RQ5 能否在计算代数系统中实现一种系统化、可复现的方法，通过分量群上的伽罗瓦作用来计算 Tamagawa 数？

主要发现

• 作者对 [FLSSSW] 中的 32 条亏格 2 曲线进行了数值验证，确认预测的 Tate–Shafarevich 群阶与整数的偏差在 10⁻⁹ 以内，且除一条外，所有曲线的阶均为精确的 1.000000000。
• 对 300 条系数在 {-10,…,10} 范围内、判别式 ≤10⁵ 的亏格 2 超椭圆曲线进行分析，约三分之一的曲线具有解析秩与代数秩均为 1，且 BSD 公式在平方意义下成立。
• 该方法被扩展至 6 条系数在 {-3,…,3} 范围内、判别式 ≤10⁶ 的亏格 3 超椭圆曲线，这是首次对亏格 3 曲线实现 BSD 猜想的数值验证。
• 利用基于正规模型与伽罗瓦作用的新 Magma 工具包，仅用数小时便计算了 LMFDB 中近 66,158 条亏格 2 曲线的 Tamagawa 数。
• 由于高度界不足，尤其在亏格 3–5 的情况下，调节子仅能确定到平方倍数，导致其精确值存在不确定性。
• 预测的 Tate–Shafarevich 群阶被确认为有理数平方或其两倍，且在高精度范围内满足 [PoSt99] 的标准，支持了 BSD 猜想的一致性。