[论文解读] Numerical verification of the Cohen-Lenstra-Martinet heuristics and of Greenberg's $p$-rationality conjecture

Razvan Barbulescu, Jishnu Ray|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用 5

一句话总结

本文通过利用Cohen-Lenstra-Martinet启发式方法以及Hofmann和Zhang关于$p$-进正规子群的猜想，对多重二次和多重三次域的Greenberg $p$-有理性猜想提供了数值验证。文章构造了一个无限族的$p$-有理双二次域，并提出了计算循环三次域中单位的新算法，显著提升了大规模搜索$p$-有理域的计算效率。

ABSTRACT

In this paper we make a series of numerical experiments to support Greenberg's $p$-rationality conjecture, we present a family of $p$-rational biquadratic fields and we find new examples of $p$-rational multiquadratic fields. In the case of multiquadratic and multicubic fields we show that the conjecture is a consequence of the Cohen-Lenstra-Martinet heuristic and of the conjecture of Hofmann and Zhang on the $p$-adic regulator, and we bring new numerical data to support the extensions of these conjectures. We compare the known algorithmic tools and propose some improvements.

研究动机与目标

• 为Greenberg关于存在具有指定伽罗瓦群的$p$-有理数域的猜想提供数值证据。
• 为所有素数 $p \in [5, 97]$ 和 $t \in [7, 11]$ 构造一个无限族的$p$-有理双二次域。
• 通过证明多重二次和多重三次域的$p$-有理性可由Cohen-Lenstra-Martinet启发式方法和Hofmann-Zhang关于$p$-进正规子群的猜想推出，扩展了理论框架。
• 改进计算单位和数域中$p$-主单位的算法工具，特别是在循环三次域和多重二次域中。
• 通过优化的计算方法，生成新的高次多重二次$p$-有理域示例。

提出的方法

• 基于Movahhedi和Nguyen Quang Do的刻画，利用$p$-有理性与伽罗瓦群 $\mathrm{Gal}(K_{S_p}/K)^{\text{ab}}$ 中挠子群 $\mathcal{T}_p$ 平凡性的等价性。
• 采用判别准则：当且仅当映射 $\mu(K)_p \to \prod_{\mathfrak{p} \in S_p} \mu(K_\mathfrak{p})_p$ 是同构且满足$p$-幂单位条件时，$K$ 是$p$-有理的。
• 应用Schirokauer映射，通过单位对数嵌入构成的矩阵 $M(U)$ 的秩来检测$p$-主单位的存在性。
• 提出一种新算法，用于在循环三次域中计算单位：利用导子的素因子 $\ell$ 满足 $\ell \equiv 1 \mod q$（其中 $q$ 为次数），当 $\ell$ 上方的素理想 $\mathfrak{l}$ 为主理想时，通过比值 $\sigma(\omega)/\omega$ 生成单位。
• 采用LLL约化以寻找素理想的生成元，并在理想为主理想时高效构造单位。
• 比较现有算法并提出优化，特别针对多重二次和多重三次域，以加速$p$-有理域的搜索。

实验结果

研究问题

• RQ1 Greenberg的$p$-有理性猜想是否对所有有限交换群 $G$ 和素数 $p$ 成立？
• RQ2 Cohen-Lenstra-Martinet启发式方法与Hofmann-Zhang关于$p$-进正规子群的猜想是否共同蕴含多重二次和多重三次域中$p$-有理性的存在？
• RQ3 在循环三次域中，有多少比例的素数 $\ell \equiv 1 \mod q$ 满足其上方的素理想为主理想，从而使得新算法能高效计算单位？
• RQ4 与Buchmann方法相比，新算法在减少$p$-有理域搜索计算时间方面有多高效？
• RQ5 对于每个 $p \in [5, 97]$ 和 $t \in [7, 11]$，所构造的双二次域族中是否存在无穷多个$p$-有理域？

主要发现

• 作者为所有素数 $p \in [5, 97]$ 和 $t \in [7, 11]$（其中 $t$ 依赖于 $p$）构造了一个无限族的$p$-有理双二次域，为每对这样的 $(p,t)$ 提供了明确示例。
• 对于多重二次和多重三次域，$p$-有理性可由Cohen-Lenstra-Martinet启发式方法和Hofmann-Zhang关于$p$-进正规子群的猜想推出，为数值观察提供了理论基础。
• 在循环三次域中计算单位的新算法在43.1%的测试案例中成功（630个导子≤4000的域中272个），当理想 $\mathfrak{l}$ 为主理想时，显著减少了计算时间。
• 在SageMath中的算法实现表明，该方法在大规模$p$-有理域搜索中具有实际可行性和可扩展性。
• 本文提供了大量数值数据，支持扩展后的猜想，包括高次多重二次域的$p$-有理性。
• 作者通过结合Schirokauer映射、理想分解与LLL约化，改进了现有算法，实现了对$p$-主单位的更快检测和对$p$-有理性的更高效验证。