[论文解读] Numerical wave propagation for the triangular $P1_{DG}$-$P2$ finite element pair

Colin J. Cotter|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2010

Geophysics and Gravity Measurements被引用 4

一句话总结

本文分析了在三角形网格上，线性化旋转浅水方程的 $P1_{DG}$-$P2$ 有限元对的数值波传播特性。通过使用离散的Helmholtz分解，表明该方法对惯性重力波和罗斯比波实现了三阶空间精度，仅存在不传播的虚假惯性振荡，且提出了一种速度空间限制以完全消除这些模态。

ABSTRACT

Inertia-gravity mode and Rossby mode dispersion properties are examined for discretisations of the linearized rotating shallow-water equations using the $P1_{DG}$-$P2$ finite element pair on arbitrary triangulations in planar geometry. A discrete Helmholtz decomposition of the functions in the velocity space based on potentials taken from the pressure space is used to provide a complete description of the numerical wave propagation for the discretised equations. In the $f$-plane case, this decomposition is used to obtain decoupled equations for the geostrophic modes, the inertia-gravity modes, and the inertial oscillations. As has been noticed previously, the geostrophic modes are steady. The Helmholtz decomposition is used to show that the resulting inertia-gravity wave equation is third-order accurate in space. In general the \pdgp finite element pair is second-order accurate, so this leads to very accurate wave propagation. It is further shown that the only spurious modes supported by this discretisation are spurious inertial oscillations which have frequency $f$, and which do not propagate. The Helmholtz decomposition also allows a simple derivation of the quasi-geostrophic limit of the discretised $P1_{DG}$-$P2$ equations in the $β$-plane case, resulting in a Rossby wave equation which is also third-order accurate.

研究动机与目标

• 分析 $P1_{DG}$-$P2$ 有限元对在非结构化三角形网格上对线性化旋转浅水方程的波传播行为。
• 解决在非结构化网格上地球流体动力学混合有限元方法中虚假模态的挑战。
• 证明 $P1_{DG}$-$P2$ 对仅支持不传播的虚假惯性振荡，可通过速度空间限制完全消除。
• 表明该方法对惯性重力波和罗斯比波实现了三阶空间精度，改善了波的色散特性。
• 提供一种框架，通过确保地转平衡和准确的波表示，使该方法适用于自适应网格加密和数值天气预报。

提出的方法

• 通过从 $P2$ 压力空间导出的势函数，对速度空间应用离散Helmholtz分解，以解耦地转、惯性重力和惯性模态。
• 推导出等价于 $P2$ 连续有限元方法的离散惯性重力波方程，确立三阶空间精度。
• 在 $\beta$-平面情况下使用准地转极限进行分析，表明所得的罗斯比波方程同样具有三阶精度。
• 提出一种受限的 $P1_{DG}$ 速度空间（记为 $H(P2)$），通过投影出非地转分量，完全消除虚假惯性振荡。
• 在正三角形网格上使用数值色散分析，验证色散关系的准确性。
• 利用质量集中技术，在保持波精度和地转平衡的同时维持计算效率。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非结构化三角形网格上，$P1_{DG}$-$P2$ 有限元对对惯性重力波和罗斯比波的波传播精度如何？
• RQ2 该 $P1_{DG}$-$P2$ 离散化支持何种类型的虚假模态（若有），它们如何影响波动力学？
• RQ3 离散Helmholtz分解能否用于解耦物理模态与虚假模态，并推导出准确的波方程？
• RQ4 $P1_{DG}$-$P2$ 方法是否对波传播实现了三阶空间精度，与标准二阶方法相比有何差异？
• RQ5 通过速度空间限制能否完全消除虚假惯性振荡，而不损害地转平衡或波精度？

主要发现

• $P1_{DG}$-$P2$ 有限元对对惯性重力波和罗斯比波传播均实现了三阶空间精度，显著优于标准二阶方法的色散精度。
• 存在的唯一虚假模态是频率为 $f$ 的不传播惯性振荡，它们与物理波模态解耦，且不影响地转平衡。
• 可定义一种受限速度空间 ($H(P2)$) 以完全消除虚假惯性振荡，从而得到一种完全无虚假模态的方法。
• $P1_{DG}$-$P2$ 离散化的准地转极限得到的罗斯比波方程与 $P2$ 连续有限元方法完全一致，证实了三阶精度。
• 该方法保持了稳定的地转模态，并在任意非结构化三角形网格上维持了准确的波表示。
• 质量集中对色散关系影响极小，既保持了波精度，又实现了高效的显式时间积分。