[论文解读] Nyldon words

Émilie Charlier, Manon Philibert+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2018

semigroups and automata theory参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文引入了Nyldon词，这是一种新的词类，定义为任意有限词的字典序非递减因子分解的唯一形式，与Lyndon词对偶。它证明了Nyldon词在字典序递减顺序下构成自由幺半群的完整因子分解，并确立其构成右Lazard集，从而扩展了词的组合学中的因子分解理论。

ABSTRACT

The Chen-Fox-Lyndon theorem states that every finite word over a fixed alphabet can be uniquely factorized as a lexicographically nonincreasing sequence of Lyndon words. This theorem can be used to define the family of Lyndon words in a recursive way. If the lexicographic order is reversed in this definition, we obtain a new family of words, which are called the Nyldon words. In this paper, we show that every finite word can be uniquely factorized into a lexicographically nondecreasing sequence of Nyldon words. Otherwise stated, Nyldon words form a complete factorization of the free monoid with respect to the decreasing lexicographic order. Then we investigate this new family of words. In particular, we show that Nyldon words form a right Lazard set.

研究动机与目标

• 定义一种新的词类Nyldon词，作为在字典序反转下与Lyndon词对偶的对应物。
• 证明每个有限词均可唯一分解为Nyldon词的字典序非递减序列。
• 研究Nyldon词的结构与代数性质，特别是其在因子分解理论中的作用。
• 确立Nyldon词构成右Lazard集，从而扩展自由幺半群中Lazard集的已知结果。

提出的方法

• 通过与标准Lyndon词定义对偶的递归构造来定义Nyldon词，使用字典序非递减因子分解。
• 以Chen-Fox-Lyndon定理为基础，反转字典序以生成新词类。
• 通过词序排列的组合论证，证明Nyldon词的非递减因子分解的唯一性与存在性。
• 通过验证前缀自由生成与因子分解封闭性等必要性质，证明Nyldon词集合满足右Lazard集的条件。
• 应用Lazard集的已知结果，表明Nyldon词可通过迭代的右分支构造生成自由幺半群。
• 利用Lyndon词与Nyldon词之间的对偶性，将Lyndon词因子分解的结构洞见转移至新词类。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个有限词是否都能唯一分解为Nyldon词的字典序非递减序列？
• RQ2 在字典序对偶下，Nyldon词的结构与Lyndon词相比有何异同？
• RQ3 Nyldon词是否在字典序递减顺序下构成自由幺半群的完整因子分解系统？
• RQ4 Nyldon词集合是否为右Lazard集？若是，其分类的依据为何？
• RQ5 将词非递减分解为Nyldon词时，会涌现出哪些代数与组合性质？

主要发现

• 每个有限词均可唯一分解为Nyldon词的字典序非递减序列，确立其作为自由幺半群的完整因子分解基。
• Nyldon词被定义为在字典序反转下与Lyndon词对偶，导致其具有非递增因子分解性质。
• Nyldon词家族构成右Lazard集，意味着它们可通过保持因子分解完整性的右分支算法生成。
• Nyldon词的构造确保集合中任一词都不是另一词的真前缀，满足Lazard集的关键条件。
• Nyldon词的唯一非递减因子分解性质与著名的Lyndon词非递增因子分解性质形成对偶，完整了词的组合学中的对偶关系。
• 本研究通过引入具有与Lyndon词结构平行的新规范因子分解系统，扩展了自由幺半群因子分解理论。