[论文解读] O-minimal cohomology and definably compact definable groups

Mário J. Edmundo|ArXiv.org|Dec 7, 2000

Advanced Topology and Set Theory参考文献 2被引用 9

一句话总结

本文为实闭域的o-极小扩张中的可定义流形建立了o-极小上同调理论，并将其应用于解决Peterzil-Steinhorn关于可定义紧致可定义群中挠点的问题。关键结果表明：对于维数为 $ n $ 的可定义紧致、可定义连通的可定义阿贝尔群 $ G $，其基本群 $ \pi_1(G) \cong \mathbb{Z}^n $，且对每个 $ k > 1 $，$ k $-挠子群 $ G[k] \cong (\mathbb{Z}/k\mathbb{Z})^n $，同时 $ G $ 的o-极小欧拉示性数为零。

ABSTRACT

Let N be an o-minimal expansion of a real closed field. We develop cohomology theory for the category of N-definable manifolds and N-definable maps, and use this to solve the Peterzil-Steinhorn problem on the existence of torsion points on N-definably compact N-definable abelian groups. We compute the cohomology rings of N-definably compact N-definable groups, and we prove an o-minimal analog of the Poincare duality theorem, the Alexander dualti theorem, the Lefschetz duality theorem and the Lefschetz fixed point theorem.

研究动机与目标

• 为 $ \mathcal{N} $-可定义流形的范畴建立上同调理论，其中包含连续的 $ \mathcal{N} $-可定义映射，$ \mathcal{N} $ 是实闭域的o-极小扩张。
• 解决Peterzil-Steinhorn关于 $ \mathcal{N} $-可定义紧致、$ \mathcal{N} $-可定义连通阿贝尔群中挠点存在性的问题。
• 计算 $ \mathcal{N} $-可定义紧致、$ \mathcal{N} $-可定义连通 $ \mathcal{N} $-可定义群的上同调环。
• 在o-极小设定中建立对偶定理（庞加莱、亚历山大、Lefschetz）以及Lefschetz不动点定理。

提出的方法

• 本文通过豪斯多夫可定义流形与连续可定义映射的范畴构造o-极小上同调，扩展了A. Woerheide的o-极小同调技术。
• 为o-极小结构中的可定义流形建立了庞加莱对偶性、亚历山大对偶性与Lefschetz对偶性。
• 证明了可定义映射的Lefschetz不动点定理，进而推出广义的Jordan-Brouwer分离定理。
• 通过从经典李群上同调的转移以及文献 [ e2 ] 和 [ pps1 ] 的结果，计算了可定义紧致、可定义连通可定义群的上同调环。
• 通过中心平凡的单群及其万有覆叠的扩张分析可定义紧致可定义群的结构。
• 本文使用同构 $ H^*(G;R) \cong H^*(\mathfrak{g};R) $，其中 $ \mathfrak{g} $ 是 $ G $ 的李代数，并将已知的紧致李群上同调结果推广至o-极小设定。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个维数为 $ n $ 的可定义紧致、可定义连通可定义阿贝尔群是否满足基本群同构于 $ \mathbb{Z}^n $？
• RQ2 此类群的 $ k $-挠子群 $ G[k] $ 是否同构于 $ (\mathbb{Z}/k\mathbb{Z})^n $？
• RQ3 可定义紧致、可定义连通可定义群的o-极小欧拉示性数是多少？
• RQ4 能否利用o-极小上同调计算可定义紧致、可定义连通可定义群的上同调环？
• RQ5 代数拓扑中的经典对偶定理是否在o-极小范畴中成立？

主要发现

• 可定义紧致、可定义连通可定义群 $ G $（维数为 $ n $）的o-极小欧拉示性数为零。
• 对于阿贝尔群 $ G $，其基本群满足 $ \pi_1(G) \cong \mathbb{Z}^n $。
• 对每个 $ k > 1 $，$ k $-挠子群 $ G[k] \cong (\mathbb{Z}/k\mathbb{Z})^n $。
• 群 $ G $ 的上同调环同构于系数环 $ R $ 上的外代数 $ \bigwedge[x_1, \dots, x_n]_R $，反映了其李群结构。
• 当 $ G $ 为阿贝尔且单连通时，上同调环 $ H^*(G; \mathbb{Z}_p) $ 对所有 $ p $ 均无 $ p $-挠，且存在依赖于李型的显式界。
• 对于可定义半单群 $ G $，其基本群 $ \pi_1(G) $ 为有限群，且同构于其单因子的万有覆叠群的中心的乘积的子群。