[论文解读] O-operators on associative algebras and dendriform algebras

Chengming Bai, Li Guo+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2010

Advanced Topics in Algebra参考文献 20被引用 5

一句话总结

本文在结合结合代数的 O-算子与 dendriform 双代数和三重代数之间建立了全面的对应关系，推广了经典的 Rota-Baxter 关系。证明了每个 dendriform 双代数和三重代数均可由结合代数上的 O-算子生成，并构建了可逆 O-算子的等价类与这些代数的等价类之间的显式双射，从而统一并扩展了该领域先前的结果。

ABSTRACT

An O-operator is a relative version of a Rota-Baxter operator and, in the Lie algebra context, is originated from the operator form of the classical Yang-Baxter equation. We generalize the well-known construction of dendriform dialgebras and trialgebras from Rota-Baxter algebras to a construction from O-operators. We then show that this construction from O-operators gives all dendriform dialgebras and trialgebras. Furthermore there are bijections between certain equivalence classes of invertible O-operators and certain equivalence classes of dendriform dialgebras and trialgebras.

研究动机与目标

• 将已知的从 Rota-Baxter 算子构造 dendriform 代数的方法推广到更广泛的算子类。
• 证明每个 dendriform 双代数和三重代数均可由结合代数上的 O-算子生成。
• 在可逆 O-算子的等价类与 dendriform 双代数和三重代数的等价类之间建立双射对应关系。
• 在算子的定义域和值域上分别定义并研究 O-算子，区分定义域上的结构与值域上的结构。
• 证明 O-算子值域上的代数结构与原始结合乘积相容，从而将乘积分解为 dendriform 分量。

提出的方法

• 将 A-双模 V 上的 O-算子定义为满足 α(u)∗α(v) = α(ℓ(α(u))v) + α(ur(α(v))) 对所有 u,v ∈ V 成立的 k-线性映射 α: V → A。
• 通过 x ≺α y = x r(α(y)) 和 x ≻α y = ℓ(α(x)) y 在 V 上构造 dendriform 双代数结构。
• 将构造推广至具有非零权的结合代数上的 O-算子，从而在定义域上生成 dendriform 三重代数。
• 通过 α 拉回操作在值域 A 上定义结构，得到 A 上的 ≺α,A, ≻α,A 和 ⋅α,A。
• 证明 A 上的运算将原始结合乘积分裂为 ∗ = ≺α,A + ≻α,A + ⋅α,A。
• 通过证明 O-算子的等价性恰好对应于诱导的 dendriform 结构的同构，建立 O-算子与 dendriform 代数之间的同构关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个 dendriform 双代数是否均可实现为结合代数上某个 O-算子的产物？
• RQ2 是否存在一种 Rota-Baxter 构造的推广，能够捕捉所有 dendriform 双代数和三重代数？
• RQ3 O-算子是否在算子的定义域和值域上均诱导出相容的 dendriform 结构？
• RQ4 可逆 O-算子的等价类与 dendriform 双代数和三重代数的等价类之间是否存在自然双射？
• RQ5 O-算子的同构与在值域上诱导的 dendriform 代数的同构之间有何关系？

主要发现

• 每个 dendriform 双代数均可由结合代数上的双模上的 O-算子生成，推广了 Rota-Baxter 构造。
• 每个 dendriform 三重代数均可由具有非零权的结合代数上的 O-算子生成。
• 可逆 O-算子的等价类与 dendriform 双代数和三重代数的等价类之间存在双射。
• O-算子 α: V → A 的值域 A 上的 dendriform 结构与 A 上的原始结合乘积 ∗ 相容，将其分解为 ∗ = ≺α,A + ≻α,A + ⋅α,A。
• O-算子的同构恰好对应于值域 A 上诱导的 dendriform 三重代数的同构。
• 该对应关系通过函子性双射得到量化，证明 O-算子构造对于生成所有此类 dendriform 代数而言既是必要也是充分的。