[论文解读] Oberwolfach Report: Spacetime Intrinsic Flat Convergence

Christina Sormani|arXiv (Cornell University)|May 22, 2018

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文通过利用宇宙学时间函数定义零测地距离函数，引入了时空内在平坦（SF）收敛的概念，使内在平坦收敛能够应用于洛伦兹时空。该方法确保极限中因果结构得以保持，从而实现对大爆炸和黑洞时空的紧致性定理与稳定性结果。

ABSTRACT

This Oberwolfach report describes published work with Carlos Vega introducing the null distance on a spacetime, and announces unpublished applications of this work jointly with Carlos Vega and with Anna Sakovich applying the null distance to define a spacetime intrinsic flat convergence (SF convergence). The announced work with Vega concerns convergence of sequences of big bang spacetimes and the announced work with Anna Sakovich concerns convergence of future maximal developments of initial data sets. Both were originally announced at the 2018 JMM. This report lists some open questions that will be discussed at the Oberwolfach meeting this coming August.

研究动机与目标

• 开发一种类似于黎曼几何中内在平坦收敛的时空收敛概念，适用于具有长而细的引力井或奇点的序列。
• 解决将内在平坦收敛应用于洛伦兹流形的挑战，因为洛伦兹流形缺乏度量空间结构，无法使用标准等距嵌入。
• 通过从正规宇宙学时间函数导出的零测地距离函数，定义一种时空内在平坦距离，确保极限中因果结构得以保持。
• 建立条件，使得零测地距离定义一个编码因果结构的度量空间，从而使得积分电流空间可应用于洛伦兹几何。
• 在SF收敛下，证明大爆炸时空与最大发展时空序列的紧致性定理，其极限为具有因果结构的积分电流空间。

提出的方法

• 定义零测地距离函数 $\hat{d}_{\tau}(p,q) = \inf_{\beta} \sum_{i=1}^{k} |\tau(\beta(t_i)) - \tau(\beta(t_{i+1}))|$，其中 $\beta$ 遍历从 $p$ 到 $q$ 的分段因果曲线，使用时间函数 $\tau$。
• 使用正规宇宙学时间函数 $\tau$（在 $M$ 上有限，且沿过去不可延展曲线收敛于 0），以确保 $\hat{d}_{\tau}$ 定义一个度量空间。
• 证明 $\hat{d}_{\tau}$ 编码因果性：当且仅当 $p$ 在 $q$ 的未来时，有 $\hat{d}_{\tau}(p,q) = \tau(p) - \tau(q)$，这蕴含正定性与度量结构。
• 从具有正规 $\tau$ 的时空构造度量空间 $ (X, \hat{d}_{\tau}) $，从而可定义积分电流空间结构。
• 将时空内在平坦距离 $ d_{\mathcal{SF}} $ 定义为在共同度量空间 $Z$ 中通过等距嵌入得到的积分电流空间之间的 $\mathcal{F} $-距离。
• 将该理论应用于大爆炸时空（如FLRW时空）与未来最大发展时空，证明大爆炸点 $p_{BB}$ 存在于度量完备化中，且满足 $\tau(p) = \hat{d}_{\tau}(p_{BB}, p)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些洛伦兹流形允许存在正规宇宙学时间函数，使得零测地距离 $\hat{d}_{\tau}$ 定义一个度量空间？
• RQ2 在何种条件下，零测地距离 $\hat{d}_{\tau}$ 编码因果性，即 $\hat{d}_{\tau}(p,q) = \tau(p) - \tau(q)$ 当且仅当 $p$ 在 $q$ 的未来？
• RQ3 初始数据集的未来最大发展是否具有在初始柯西曲面上趋于零的宇宙学时间函数，并产生编码因果性的零测地距离？
• RQ4 能否利用 $\mathcal{SF}$ 收敛框架证明质量趋于零的黑洞时空序列的紧致性定理？
• RQ5 是否存在其他更适合研究爱因斯坦方程未来最大发展的规范时间函数——例如基于最大切片或其它几何流的时间函数？

主要发现

• 当 $\tau$ 为正规宇宙学时间函数（如 Anderson-Howard-Galloway 所定义）时，零测地距离 $\hat{d}_{\tau}$ 定义了一个度量空间。
• 当 $\hat{d}_{\tau}$ 编码因果性时，其具有正定性，因此构成一个正规度量，确保空间适合内在平坦收敛。
• 在 $\tau = t$ 的 FLRW 大爆炸时空中，度量完备化 $\bar{X}$ 包含唯一的宇宙大爆炸点 $p_{BB}$，使得 $\tau(p) = \hat{d}_{\tau}(p_{BB}, p)$。
• 对于此类时空，以 $p_{BB}$ 为中心的带点 $\mathcal{F}$-收敛是良好定义的，其极限为具有由零测地距离编码因果结构的积分电流空间。
• 该方法使得在 $\mathcal{SF}$ 收敛下，大爆炸时空序列的紧致性定理得以证明，其极限为积分电流空间。
• 质量趋于零的黑洞时空序列在 $\mathcal{SF}$ 意义下收敛的猜想成立，零测地距离保持因果性，从而支持正质量定理与彭罗斯不等式的稳定性结果。