[论文解读] Oblique boundary value problems for augmented Hessian equations III

Feida Jiang, Neil S. Trudinger|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2018

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 45被引用 3

一句话总结

本文在不需域凸性的条件下，建立了在一般有界域上退化与非退化增广Hessian方程的半线性斜边界值问题的全局Lipschitz解与内部$C^{1,1}$解的存在性与唯一性。通过推导边界处的局部二阶导数估计并证明粘性比较原理，作者表明当在边界点满足一致凸性条件时，解在附近具有更高正则性。

ABSTRACT

In bounded domains, without any geometric conditions, we study the existence and uniqueness of globally Lipschitz and interior strong C^{1,1}, (and classical C^2), solutions of general semilinear oblique boundary value problems for degenerate, (and non-degenerate), augmented Hessian equations, with strictly regular associated matrix functions. By establishing local second derivative estimates at the boundary and proving viscosity comparison principles, we show that the solution is correspondingly smooth near boundary points where the appropriate uniform convexity is satisfied.

研究动机与目标

• 在不施加几何约束的条件下，建立一般有界域上涉及增广Hessian方程的半线性斜边界值问题解的存在性与唯一性。
• 在域与数据的假设最小化条件下，证明解为全局Lipschitz且具有内部$C^{1,1}$正则性。
• 在一致凸性条件下，推导边界处的局部二阶导数估计，从而实现边界点附近的更高正则性。
• 通过引入粘性比较原理并改进算子$F$的假设，将理论推广至退化情形。
• 通过去除域的凸性假设并将结果推广至严格正则矩阵函数$A$，推广先前结果。

提出的方法

• 利用障碍构造与增广Hessian算子$\mathcal{F}[u] = F(D^2u - A(\cdot,u,Du))$的结构，在边界处推导局部二阶导数估计。
• 在不同$F$假设下，为$C^{1,1}(\Omega) \cap C^{0,1}(\overline{\Omega})$与$C^{2}(\Omega) \cap C^{0,1}(\overline{\Omega})$中的解建立粘性比较原理。
• 通过$5$-扰动构造正则化问题的逼近解$u_\epsilon$，然后令$\epsilon \to 0$以恢复全局正则性。
• 在$\varphi$关于$z$严格递增的情况下，应用严格次解方法与先前工作的障碍技术，证明比较原理。
• 采用假设$F$满足F1（严格递增）、F2（凹性）、F3（值域条件）、F4（无穷远处增长性）以及F5（方向导数的统一下界）的改进版本。
• 利用正交不变结构与$A$的严格正则性，将结果从非退化情形推广至包括$a_0 = -\infty$的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一般有界域上，退化增广Hessian方程的半线性斜边界值问题在何种条件下存在解？
• RQ2 在不假设域凸性的情况下，如何在边界处建立局部二阶导数估计？
• RQ3 在存在斜边界条件时，何种条件能保证$C^{1,1}$与$C^2$解的唯一性？
• RQ4 粘性解理论在何种情况下可扩展为经典$C^{1,1}$或$C^{2}$解？
• RQ5 当局部一致凸性条件满足时，解的正则性如何从内部传播至边界？

主要发现

• 在F1条件下，即使在退化情形下，解在类$C^{1,1}(\Omega) \cap C^{0,1}(\overline{\Omega})$中存在且唯一。
• 在非退化情形下，解为$C^{2,\alpha}(\Omega) \cap C^{0,1}(\overline{\Omega})$，其中$\alpha \in (0,1)$，在F1条件下成立。
• 在任意边界点$x_0 \in \partial\Omega$处，若满足一致$(\Gamma,A,G)$-凸性，则在邻域$\mathcal{N} = B_{\theta R}(x_0) \cap \Omega$内，局部二阶导数估计一致成立。
• 在$\epsilon$无关的界$\sup_{\mathcal{N} \cap \Omega} |D^2 u_\epsilon| \leq C$下，可实现$\epsilon \to 0$的极限过程，从而恢复$C^{1,1}$正则性。
• 当$\varphi$关于$z$严格递增时，唯一性由情形(i)中的比较原理保证；当$A$关于$z$严格递增时，由情形(ii)中的比较原理保证。
• 通过重新定义域$D = \{ r \in \Gamma \mid F(r) > a_0 \}$，将结果推广至$a_0 = -\infty$的情形，且在相同结构假设下保持存在性与正则性。