[论文解读] Oblique projections and Schur complements

Gustavo Corach, Alejandra Maestripieri+1 more|ArXiv.org|Jun 16, 2000

Advanced Topics in Algebra参考文献 20被引用 57

一句话总结

本文研究了由自伴算子 A 诱导的有界半双线性型下自伴的斜投影，重点在于对闭子空间 S 上 A-自伴投影的存在性与特征刻画。关键贡献在于建立了此类投影与 A 关于 S⊥ 的 Schur 补（即截断算子）之间的直接联系，表明相容性（A-自伴投影集合非空）等价于 Schur 补有定义且满足特定算子不等式，同时显式导出了最小范数解。

ABSTRACT

Let H be a Hilbert space, L(H) the algebra of all bounded linear operators on H and _A : H imes H o C the bounded sesquilinear form induced by a selfadjoint A in L(H), < ξ, η>_A = < A ξ, η>, ξ, ηin H. Given T in L(H), T is A-selfadjoint if AT = T^*A. If S \subseteq H is a closed subspace, we study the set of A-selfadjoint projections onto S, P(A, S) = {Q in L(H): Q^2 = Q, R(Q) = S, AQ = Q*A} for different choices of A, mainly under the hypothesis that A\geq 0. There is a closed relationship between the A-selfadjoint projections onto S and the shorted operator (also called Schur complement) of A to S^\perp. Using this relation we find several conditions which are equivalent to the fact that P(A, S) eq \emptyset, in particular in the case of A\geq 0 with A injective or with R(A) closed. If A is itself a projection, we relate the set P(A, S) with the existence of a projection with fixed kernel and range and we determine its norm.

研究动机与目标

• 在希尔伯特空间 H 中，刻画关于闭子空间 S 的 A-自伴斜投影集合。
• 研究当 A 为有界自伴算子（特别是 A ≥ 0 时）此类投影的存在性条件。
• 建立 A-自伴斜投影与 A 关于 S⊥ 的 Schur 补（即截断算子）之间的深刻联系。
• 推导 A-自伴斜投影集合中最小范数元素的显式公式。
• 当集合非空时，提供此类投影集合的参数化表达，尤其在 A 为正定且具有闭值域的假设下。

提出的方法

• 将 A-自伴投影定义为满足 R(Q) = S 且 AQ = Q*A 的幂等算子 Q。
• 利用算子方程 QA = AD 的约化解 D 来刻画 A-自伴投影的结构。
• 建立 A-自伴投影存在性与 A 关于 S⊥ 的截断算子 Σ(P,A) 存在性之间的等价关系。
• 利用 Schur 补恒等式 Σ(P,A) = A(1−Q)（对任意 Q ∈ P(A,S) 成立），将投影与算子理论中的补算子联系起来。
• 当 A ≥ 0 且集合非空时，将 P(A,S) 参数化为仿射流形。
• 利用最小范数投影 P_{A,S}，并在适当条件下通过公式 ‖P_{A,S}‖ = (1 − ‖(1−Q)P‖²)^{-1/2} 推导其范数。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于给定的自伴算子 A ∈ L(H)，在何种条件下存在至少一个关于闭子空间 S 的 A-自伴斜投影？
• RQ2 关于 S 的 A-自伴斜投影集合与 A 关于 S⊥ 的 Schur 补（即截断算子）之间有何关系？
• RQ3 当集合非空时，P(A,S) 的结构是怎样的？是否可参数化？
• RQ4 P(A,S) 中最小范数元素是什么？如何显式计算？
• RQ5 何时最小范数 A-自伴斜投影的范数有界？其精确值如何用算子范数表示？

主要发现

• 集合 P(A,S) 非空（即 (A,S) 相容）当且仅当截断算子 Σ(P,A) 存在，这恰好发生在对某个 Q ∈ P(A,S)，有下式成立：inf{λ > 0 : A(1−Q) ≤ λ(1−Q)A(1−Q)} 为有限值。
• 当 A ≥ 0 时，集合 P(A,S) 为仿射流形，且其最小范数元素 P_{A,S} 满足：当 ‖(1−Q)P‖ < 1 时，有 ‖P_{A,S}‖ = (1 − ‖(1−Q)P‖²)^{-1/2}。
• 最小范数投影 P_{A,S} 唯一，且满足 P_{A,S} = (1 + D)^{-1}，其中 D 是方程 QA = AD 的某个约化解。
• 当 A 为投影算子时，存在 A-自伴斜投影于 S 的充要条件是存在具有固定核与像的投影，其范数为 (1 − ‖(1−Q)P‖²)^{-1/2}。
• 若 ker Q ∩ R(P) = {0} 且 R(P) ⊕ ker Q 闭，则 P_{Q,P} 是以 ker Q 为核、R(P) 为像的斜投影，其范数为 (1 − ‖(1−Q)P‖²)^{-1/2}。
• 对于一般 P,Q ∈ P(H)，最小范数投影 P_{Q,P} 的范数为 ‖P_{Q,P}‖ = (1 − ‖(1−Q)P₀‖²)^{-1/2}，其中 P₀ 是 R(P) ⊖ (ker Q ∩ R(P)) 上的正交投影。