[论文解读] Oblique propagation of electrons in crystals of germanium and silicon at sub-Kelvin temperature in low electric fields

Blas Cabrera, M. Pyle+3 more|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2010

Silicon Nanostructures and Photoluminescence被引用 3

一句话总结

本文提出了一种简化的各向异性模型，用于解释在亚开尔文温度和低电场条件下，锗和硅晶体中电子的倾斜漂移现象。在此条件下，由于谷间散射被抑制，电子被限制在单个谷内。通过将动量空间变换为各向同性以使能量面趋于球形，并模拟电子轨迹，该模型成功再现了实验测得的漂移速度，并解释了在低温探测器（如CDMS）中，电子的侧向弥散比空穴大十倍的现象。

ABSTRACT

We show that oblique propagation of electrons in crystals of Ge and Si, where the electron velocity does not follow the electric field even on average, can be explained using standard anisotropic theory for indirect gap semiconductors. These effects are pronounced at temperatures below ~1K and for electric fields below ~5V/cm because inter-valley transitions are energetically suppressed forcing electrons to remain in the same band valley throughout their motion and the valleys to separate in position space. To model, we start with an isotropic approximation which incorporates the average properties of the crystals with one phonon mode, and include the ellipsoidal electron valleys by transforming into a momentum space where constant energy surfaces are spheres. We include comparisons of simulated versus measured drift velocities for holes and electrons, and explain the large discrepancy between electrons and holes for shared events in adjacent electrodes.

研究动机与目标

• 解释在亚开尔文温度和低电场条件下，锗和硅晶体中实验观测到的电子倾斜传播现象，此时电子速度显著偏离外加电场方向。
• 解决低温半导体探测器中电子与空穴侧向弥散长期存在的差异问题，特别是在CDMS实验中电子的弥散是空穴的十倍。
• 开发一种简化但精确的模型，捕捉间接带隙半导体中各向异性电子输运的本质物理机制，而无需进行全带Monte Carlo模拟，从而实现更快的探测器模拟。
• 通过锗和硅中电子与空穴的测量漂移速度，验证该模型，每个材料仅使用一个可调参数（形变势）。

提出的方法

• 通过Herring变换将锗（L型谷）和硅（Δ型谷）的电子谷各向异性动量空间转换为球对称的各向同性动量空间，使等能面变为球形。
• 在各向同性纵向声子发射下应用能量和动量守恒，假设在T < 1 K时仅发生自发发射，并使用单一形变势参数Ξ来建模电子散射。
• 在变换后的（星号）空间中，在均匀电场下模拟电子轨迹，然后将结果映射回真实空间，以恢复各向异性的漂移图案和空间展宽。
• 采用相同的各向同性空穴模型进行对比，假设Γ谷为球形且声子耦合各向同性，从而实现电子与空穴漂移行为的直接比较。
• 利用有效质量比的标度关系推导变换后的物理量，如电场、速度和位置：$ E_i^* = \tilde{m}_i^{-1/2} E_i $，$ v_i^* = \tilde{m}_i^{1/2} v_i $，其中 $ \tilde{m}_i = m_i / m_c $。
• 将模拟的漂移速度与Sundqvist（2009）的实验数据对比，通过拟合形变势 $ \tilde{\boldsymbol{\rho}} $ 实现一致，得到锗的 $ \tilde{\boldsymbol{\rho}} = 11.0 $ eV，硅的 $ \tilde{\boldsymbol{\rho}} = 3.4 $ eV。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何在亚开尔文温度和低电场下，锗和硅晶体中的电子表现出倾斜漂移，而空穴则不表现？
• RQ2 CDMS型低温探测器中，电子侧向弥散比空穴大十倍的根源是什么？
• RQ3 如何通过简化框架准确建模间接带隙半导体中的各向异性电子输运，同时保持物理解读？
• RQ4 在低温和低电场下，谷间散射被抑制的程度在多大程度上导致了谷特异性电子轨迹和各向异性展宽？
• RQ5 将动量空间变换为各向同性是否能准确再现锗和硅中L型谷和Δ型谷电子的各向异性漂移行为？

主要发现

• 该模型成功再现了在低电场（高达~5 V/cm）下锗和硅中电子的测量漂移速度，最佳拟合形变势分别为锗11.0 eV和硅3.4 eV。
• 在锗晶体中，电子轨迹呈现出四个与[111]晶轴对齐的椭圆形展宽波束，其横向与纵向展宽之比约为 $ \tilde{m}_{\text{parallel}} / \tilde{m}_{\text{perp}} = 4.41 $，与理论各向异性比一致。
• 在CDMS探测器中，电子的侧向弥散被发现是空穴的十倍，与实验观测一致，其原因在于各向异性有效质量张量和谷分离。
• 在[100]取向的硅晶体中，倾斜传播不存在，因为六个Δ谷中有一个主轴与电场对齐；但在[111]取向硅中，由于存在非对齐，倾斜传播将出现。
• 在[111]取向的锗晶体中，倾斜传播持续存在，因为四个L谷中仅一个与电场对齐，从而保持了各向异性效应。
• 特征散射长度 $ l_0 $ 分别为锗257 μm和硅108 μm，且模拟的电子束宽 $ \tilde{\boldsymbol{\rho}} $ 与1 V/cm下的实验展宽一致，证实了该模型的预测能力。