[论文解读] Observability and null-controllability for parabolic equations in $L_p$-spaces

Clemens Bombach, Dennis Gallaun+2 more|arXiv (Cornell University)|May 29, 2020

Stability and Controllability of Differential Equations被引用 1

一句话总结

本文通过结合抽象不确定性原理与耗散估计的对偶方法，建立了在 $L^p(\mathbb{R}^d)$ 中具有内部控制的抛物方程在厚集上的成本一致近似零可控性及其显式控制成本界。关键贡献在于将结果推广至 $p=1$ 和 $p\in(1,\infty)$ 的情形，包括基于控制集几何性质与终时 $T$ 的显式控制成本界，扩展了希尔伯特空间与非自反 $L^1$-空间中的先前结果。

ABSTRACT

We study (approximate) null-controllability of parabolic equations in $L_p(\mathbb{R}^d)$ and provide explicit bounds on the control cost. In particular we consider systems of the form $\dot{x}(t) = -A_p x(t) + \mathbf{1}_E u(t)$, $x(0) = x_0\in L_p (\mathbb{R}^d)$, with interior control on a so-called thick set $E \subset \mathbb{R}^d$, where $p\in [1,\infty)$, and where $A$ is an elliptic operator of order $m \in \mathbb{N}$ in $L_p(\mathbb{R}^d)$. We prove null-controllability of this system via duality and a sufficient condition for observability. This condition is given by an uncertainty principle and a dissipation estimate. Our result unifies and generalizes earlier results obtained in the context of Hilbert and Banach spaces. In particular, our result applies to the case $p=1$.

研究动机与目标

• 在 $L^p(\mathbb{R}^d)$ 中建立抛物方程在厚集上内部控制的成本一致近似零可控性，超越希尔伯特空间情形。
• 提供控制成本的显式上界，该上界在初始数据上一致，并显式依赖于控制集 $E$ 的几何性质与终时 $T$。
• 将希尔伯特空间中的先前结果推广至非自反 $L^1$-空间情形，其中对单位球内所有初始数据，控制成本均一致有界。
• 构建一个基于对偶的框架，将零可控性与对偶系统的终态可观测性联系起来，利用抽象不确定性原理与耗散估计。
• 通过避免使用插值技术，将不确定性原理与耗散估计策略的适用范围扩展至一般 $L^p$-空间，包括 $p=1$ 与 $p=\infty$

提出的方法

• 证明依赖于对偶：通过 Douglas 引理，将原系统的零可控性问题转化为对偶系统的可观测性问题。
• 利用抽象不确定性原理（谱不等式）与耗散估计，推导出终态可观测性的充分条件，形式化为定理 A.1。
• 通过 Logvinenko–Sereda 定理建立不确定性原理，该定理为在厚集上函数的 $L^p$-范数提供了定量控制。
• 通过显式有界性估计，获得半群 $e^{-tA_p}$ 核函数的点态上界，从而控制半群在控制集补集上的衰减行为。
• 通过迭代定理 A.1 中的不等式，将不确定性与耗散估计整合为终态可观测性估计，从而导出控制成本界。
• 将框架推广至非强连续半群，使得 $L^1$ 与 $L^\infty$-空间（其对偶空间为非自反）得以处理，此前这些空间因强连续性假设而被排除。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在 $L^p(\mathbb{R}^d)$ 中建立 $p=1$ 情形下抛物方程的零可控性？此时对偶空间为非自反，标准希尔伯特空间方法失效。
• RQ2 能否基于控制集 $E$ 的厚度与终时 $T$，导出控制成本的显式、几何量化上界？
• RQ3 如何在不依赖插值技术的前提下，将不确定性原理与耗散估计策略推广至 $L^2$ 之外的一般 $L^p$-空间，包括 $p=1$ 与 $p=\infty$？
• RQ4 能否为具有低阶项的非自伴、非紧致椭圆算子，在 $L^p$-空间中导出终态可观测性估计？
• RQ5 能否仅通过可测半群与抽象算子不等式，在非自反 $L^1$-空间中严格建立零可控性与可观测性之间的对偶关系？

主要发现

• 当控制集 $E\subset\mathbb{R}^d$ 为厚集（即在所有立方体上密度存在正下确界）时，系统在 $L^p(\mathbb{R}^d)$ 中对 $p=1$ 实现成本一致近似零可控性，对 $p\in(1,\infty)$ 实现零可控性。
• 导出了控制成本的显式上界，其量级为 $\exp\left(\frac{C_2}{T^{\gamma}}\right)$，其中 $\gamma>0$，且 $C_2$ 依赖于 $E$ 的厚度与椭圆算子的阶数 $m$。
• 控制成本界对所有满足 $\|x_0\|_{L^p(\mathbb{R}^d)} \leq 1$ 的初始数据一致，确保在 $L^1$-情形（其对偶空间非可分）中具有鲁棒性。
• 不确定性原理通过 Logvinenko–Sereda 定理建立，该定理保证：在 $E$ 满足厚度条件时，对频率支撑位于给定集合的函数 $f$，有 $\|f\|_{L^p(E)} \gtrsim \|f\|_{L^p(\mathbb{R}^d)}$。
• 耗散估计通过有界半群 $e^{-tA_p}$ 的核函数得到证明，表明解的质量在控制集补集上随时间呈指数衰减，其衰减速率由参数 $\gamma_3$ 量化。
• 该框架通过去除对半群强连续性的要求，推广了 $L^2$-空间中的先前结果，使得 $L^1$ 与 $L^\infty$-空间（其对偶空间为非自反）得以处理。