[论文解读] Observability inequalities from measurable sets for some evolution equations

Gengsheng Wang, Can Zhang|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2014

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 30被引用 6

一句话总结

本文针对希尔伯特空间中的抽象演化方程，建立了从可测时间集合出发的可观测性不等式，采用两种不同设定：具有可接受观测算子的解析半群，以及满足谱类似条件的 $C_0$ 半群。主要贡献在于证明了：从可测集合出发的可观测性可推出抛物方程及相关系统中时间最优控制问题的 bang-bang 性质。

ABSTRACT

In this paper, we build up two observability inequalities from measurable sets in time for some evolution equations in Hilbert spaces from two different settings. The equation reads: $u'=Au,\; t>0$, and the observation operator is denoted by $B$. In the first setting, we assume that $A$ generates an analytic semigroup, $B$ is an admissible observation operator for this semigroup (cf. \cite{TG}), and the pair $(A,B)$ verifies some observability inequality from time intervals. With the help of the propagation estimate of analytic functions (cf. \cite{V}) and a telescoping series method provided in the current paper, we establish an observability inequality from measurable sets in time. In the second setting, we suppose that $A$ generates a $C_0$ semigroup, $B$ is a linear and bounded operator, and the pair $(A, B)$ verifies some spectral-like condition. With the aid of methods developed in \cite{AEWZ} and \cite{PW2} respectively, we first obtain an interpolation inequality at one time, and then derive an observability inequality from measurable sets in time. These two observability inequalities are applied to get the bang-bang property for some time optimal control problems.

研究动机与目标

• 为希尔伯特空间中的抽象演化方程，建立从时间可测子集出发的可观测性不等式。
• 将现有可观测性结果——此前仅限于特定 PDE（如热方程）——推广至由半群控制的一般演化方程。
• 将这些不等式应用于证明抛物型系统中时间最优控制问题的 bang-bang 性质。
• 通过引入适用于解析半群与 $C_0$ 半群设定的新技术，统一并推广先前关于可观测性与控制的研究成果。

提出的方法

• 在涉及解析半群的第一种设定中，利用解析函数的传播估计来控制解的增长。
• 采用一种新颖的望远镜级数方法，将局部可观测性估计推广为在可测集合上的全局不等式。
• 在第二种设定中，利用谱类似条件导出的插值不等式，依赖于具有指数衰减性质的子空间。
• 应用 [2] 和 [29] 中的方法，在假设 (H) 下推导出逐点可观测性估计，该假设涉及谱投影与衰减速率。
• 通过在 $(0,T)$ 的任意可测子集 $E \subset (0,T)$ 上对观测数据的 $L^1$-型积分，建立时间 $T$ 处解范数的界。
• 通过对偶论证与伴随半群分析，将可观测性结果转移至控制问题，特别是时间最优控制设定。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否能够为抽象演化方程从可测时间集合（而非区间）建立可观测性不等式？
• RQ2 生成元 $A$ 与观测算子 $B$ 需满足何种条件，才能确保从可测集合出发的可观测性？
• RQ3 如何利用从可测集合出发的可观测性不等式，推导时间最优控制的结构性质？
• RQ4 解析半群与谱条件在实现正测度集合上可观测性中起到何种作用？
• RQ5 所推导的不等式在多大程度上能推出时间最优控制问题中的 bang-bang 性质？

主要发现

• 本文证明：对于满足局部可观测性不等式的解析半群与可接受观测算子，从任意正测度的可测子集 $E \subset (0,T)$ 出发，可观测性成立。
• 可观测性不等式 (1.4) 中的显式常数 $C$ 依赖于 $E$、$T$、$d$、$k$ 以及 $\|B\|_{\mathcal{L}(D(A),U)}$，确保在可测观测集合下具有稳定性。
• 对于满足假设 (H) 的 $C_0$ 半群，推导出一个逐点插值不等式 (1.5)，将时间 $t \in (0,1]$ 处的解范数与观测范数及初始数据联系起来。
• 主要不等式 (1.6) 表明：$\|S(T)u_0\|_X$ 被 $\|BS(t)u_0\|_U$ 在任意正测度的可测子集 $E \subset (0,T)$ 上的 $L^1$-型积分所控制。
• 该结果被应用于证明格鲁辛算子系统与具有跳跃系数的抛物方程中时间最优控制问题的 bang-bang 性质。
• 推论 3.6 与 3.7 分别确认了格鲁辛型方程与具有不连续系数的抛物方程的时间最优控制的 bang-bang 性质。