[论文解读] Observable Divergence Theorem: Evolution Equations for Inviscid Regularization of Shocks and Turbulence

Kamran Mohseni|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2010

Cosmology and Gravitation Theories被引用 4

一句话总结

本文提出了可观测散度定理（Observable Divergence Theorem），这是一种新颖的框架，通过在用户定义的尺度 $\alpha$ 下使用空间平均通量重新定义散度定理，从而推导出适用于激波和湍流的正则化、无粘性演化方程。通过在推导微分方程之前应用该定理，该方法可导出不可压缩流的无粘Leray模型，并在无需粘性项或数值耗散的情况下，实现激波和湍流的稳定、无振荡模拟。

ABSTRACT

The divergence theorem of Gauss plays a central role in the derivation of the governing differential equations in fluid dynamics, electrodynamics, gravitational fields, and optics. One is often interested in an evolution equation for the large scale quantities without resolving the details of the small scales. As a result, there has been a significant effort in developing time-averaged and spatially-filtered equations for large scale dynamics from the fully resolved governing differential equations. One should realize that by starting from these fully-resolved equations (e.g. the Euler or Navier-Stokes equations) to derive an averaged evolution equation one has already taken the limit of the wave-numbers approaching infinity with no regards to our observational abilities at such a limit. As a result, obtaining the evolution equations for large scale quantities (low wave-numbers) by an averaging or filtering process is done after the fact. This could explain many of the theoretical and computational difficulties with the Euler or Navier-Stokes equations. Here, a rather different approach is proposed. The averaging process in implemented before the derivation of the differential form of the transport equations. A new observable divergence concept is defined based on fluxes calculated from observable quantities at a desired averaging scale, $α$. An observable divergence theorem is then proved and applied in the derivation of the observable and regularized transport equations. We further show that the application of the observable divergence theorem to incompressible flows results in a formal derivation of the inviscid Leray turbulence model first proposed in 1934. It is argued that such a methodology in deriving fluid evolution equations removes many of the theoretical and computational difficulties in multi-scale problems such as turbulence and shocks.

研究动机与目标

• 解决使用经典Euler方程和Navier-Stokes方程建模激波和湍流中高波数不稳定性时面临的理论与计算挑战。
• 通过将正则化嵌入守恒定律的基本推导过程中，克服后处理平均或滤波的局限性。
• 通过一种新的可观测散度概念，从第一性原理正式推导出无粘Leray湍流模型。
• 开发一种框架，确保在多尺度流体动力学中无需依赖人工粘性或数值耗散即可实现数值稳定性和物理一致性。

提出的方法

• 定义一个尺度相关的平均核 $g^\alpha$，其具有归一化、非负、径向对称且递减的特性，特征长度尺度为 $\alpha$。
• 提出可观测散度定理，用在大小为 $\alpha$ 的控制体上通过空间平均场量计算的通量，替代经典散度定理中的点通量。
• 通过将可观测散度定理应用于守恒定律的积分形式，推导出质量、动量、能量守恒方程的可观测形式。
• 利用可观测散度定理，正式推导出不可压缩的可观测Euler方程，其在 $\alpha \to 0$ 的极限下退化为无粘Leray模型。
• 通过在对流项中使用平均速度和密度场，将该方法推广至可压缩流体，推导出可观测Euler方程。
• 采用傅里叶空间中的伪谱方法进行数值模拟，时间积分采用Runge-Kutta-Fehlberg (RK45) 方法，以在激波和湍流基准问题上验证模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过在微分方程推导之前将平均过程嵌入散度定理，实现正则化流体方程的正式推导？
• RQ2 可观测散度定理是否能在无粘性正则化的情况下，产生一致且稳定的激波和湍流演化方程？
• RQ3 所得的可观测Euler方程能否再现已知解，如熵解和行进激波？
• RQ4 与经典Euler模拟相比，可观测框架在多大程度上消除了激波区域的虚假振荡？
• RQ5 在无人工粘性的情况下，平均尺度 $\alpha$ 如何控制激波厚度和数值稳定性？

主要发现

• 可观测散度定理成功实现了在有限尺度 $\alpha$ 下对通量进行平均后，再进行微分，从而推导出适用于激波和湍流的正则化、无粘性演化方程。
• 可观测不可压缩Euler方程在形式上退化为1934年Leray首次提出的无粘Leray模型，为这一长期存在的模型提供了第一性原理的推导。
• 2D激波-涡旋相互作用的数值模拟显示，即使在高分辨率下，激波区域也未出现虚假振荡，且完全不依赖粘性项或数值耗散。
• 激波厚度由平均尺度 $\alpha$ 控制，$\alpha$ 越小则需要更高分辨率，但能保持物理结构的完整性。
• 可观测Euler方程支持与经典Euler方程相同的行进激波和熵解，且当 $\alpha \to 0$ 时收敛至熵解。
• 该方法能够在不依赖人工粘性或迎风格式的情况下，实现复杂流动（如激波-湍流相互作用和各向同性湍流）的稳定且精确模拟。