[论文解读] Observable Graphs

Raphaël M. Jungers, Vincent D. Blondel|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2007

Petri Nets in System Modeling被引用 1

一句话总结

本文引入并表征了可观测及部分可观测的边带色有向图，其中代理可通过观察边的颜色来确定自身位置。本文提供了多项式时间算法，用于判断可观测性、计算最小观测需求（最多随节点数呈二次增长），并证明了两种图着色变体在可观测性方面的NP完全性。

ABSTRACT

An edge-colored directed graph is \emph{observable} if an agent that moves along its edges is able to determine his position in the graph after a sufficiently long observation of the edge colors. When the agent is able to determine his position only from time to time, the graph is said to be \emph{partly observable}. Observability in graphs is desirable in situations where autonomous agents are moving on a network and one wants to localize them (or the agent wants to localize himself) with limited information. In this paper, we completely characterize observable and partly observable graphs and show how these concepts relate to observable discrete event systems and to local automata. Based on these characterizations, we provide polynomial time algorithms to decide observability, to decide partial observability, and to compute the minimal number of observations necessary for finding the position of an agent. In particular we prove that in the worst case this minimal number of observations increases quadratically with the number of nodes in the graph. From this it follows that it may be necessary for an agent to pass through the same node several times before he is finally able to determine his position in the graph. We then consider the more difficult question of assigning colors to a graph so as to make it observable and we prove that two different versions of this problem are NP-complete.

研究动机与目标

• 为代理定位目的，正式定义并表征可观测及部分可观测的边带色有向图。
• 建立可观测图与离散事件系统及局部自动机之间的联系。
• 为判断图中可观测性与部分可观测性，开发高效算法。
• 确定代理实现自身定位所需的最小观测数，并分析其最坏情况下的增长规律。
• 研究为图分配颜色以实现可观测性的计算复杂性，包括NP完全性结果。

提出的方法

• 基于代理通过边颜色序列确定位置的机制，提出边带色有向图中可观测性与部分可观测性的正式定义。
• 运用自动机理论与图论技术表征可观测图，将其与局部自动机及可观测离散事件系统相联系。
• 开发多项式时间算法，用于判断给定图是否可观测或仅部分可观测。
• 提出一种方法，用于计算代理实现定位所需最小观测数，表明其最坏情况下与节点数呈二次增长。
• 通过将已知的NP完全问题归约，证明了实现可观测性所需图着色问题的两个变体为NP完全。

实验结果

研究问题

• RQ1 边带色有向图需满足何种条件，才能确保代理能始终通过边颜色序列确定其位置？
• RQ2 如何算法化地判断一个图是否可观测或仅部分可观测？
• RQ3 代理实现定位所需的最小观测数是多少，其随图规模如何变化？
• RQ4 是否可计算地为边分配颜色，使给定图变为可观测图？该问题的复杂性如何？
• RQ5 可观测图与可观测离散事件系统及局部自动机之间有何关联？

主要发现

• 可观测图可通过自动机理论与图论条件进行表征，从而支持算法化决策程序的建立。
• 存在多项式时间算法，可判断给定边带色有向图是否可观测或仅部分可观测。
• 代理实现定位所需最小观测数，随图中节点数的增加，其增长最多为二次方。
• 在最坏情况下，由于观测需求，代理可能需要多次遍历同一节点后才能完成定位。
• 实现图可观测性的着色问题的两个变体被证明为NP完全，表明其具有固有的计算难度。