[论文解读] Observation of the Hopf Links and Hopf Fibration in a 2D topological Raman Lattice

Chang-Rui Yi, Jinlong Yu+4 more|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2019

Topological Materials and Phenomena被引用 14

一句话总结

本研究通过淬火量子反常霍尔系统，在二维拓扑拉曼晶格中实验实现了动力学霍普夫绝缘体，将准动量-时间动力学映射为从 $T^3$ 到布洛赫球面的霍普夫映射。研究人员观测到对应于布洛赫球面上北极和南极的纤维之间的霍普夫链环，并证实了霍普夫纤维丛结构，且链环数直接给出了淬火后哈密顿量的陈数，从而首次建立了量子几何与拓扑之间的直接实验关联。

ABSTRACT

A dynamical Hopf insulator is experimentally synthesized with a quenched two-dimensional quantum anomalous Hall system on a square Raman lattice. The quench dynamics for the quasimomentum-time-dependent Bloch vectors defines a Hopf map from $(q_x,q_y,t)\in T^3$ to the Bloch sphere $S^2$. In this Hopf map, a dynamical Hopf number can be defined, and it exactly equals the Chern number of the post-quench Hamiltonian. We experimentally measure the Hopf link between the fibers for the North and South Poles on $S^2$, which are the trajectories in $(q_x,q_y,t)$ space with maximal spin polarization, to extract the topological Chern number of the post-quench Hamiltonian. We also observe the structure of Hopf fibration for the mutually nested Hopf tori. Our study sheds some new light on the interplay between topology (Hopf number) and geometry (fiber bundle) in quantum dynamics.

研究动机与目标

• 通过淬火动力学在二维拓扑拉曼晶格中实验实现动力学霍普夫绝缘体。
• 在准动量-时间空间中观测对应于布洛赫球面上北极和南极的纤维之间的霍普夫链环。
• 通过布洛赫球面上不同纬线圈上纤维形成的相互嵌套的霍普夫环面，可视化霍普夫纤维丛结构。
• 建立动力学霍普夫数作为拓扑不变量的直接实验测量，其值等于淬火后哈密顿量的陈数。
• 展示量子淬火动力学中拓扑（霍普夫数）与几何（纤维丛结构）之间的相互作用。

提出的方法

• 在二维拉曼晶格中诱导淬火动力学，将自旋极化的时间演化映射为从三维环面 $T^3$（准动量 $q_x, q_y$，时间 $t$）到布洛赫球面 $S^2$ 的霍普夫映射。
• 通过自旋算符 $\mathbf{h}_f(\mathbf{q}) \cdot \boldsymbol{\sigma}$ 的时间演化定义霍普夫映射，其中拉莫进动轨迹在 $T^3$ 中描绘出纤维。
• 从时间飞行测量中提取对应于北极和南极的纤维——即自旋极化最大值 $P_z = \pm 1$ 的轨迹。
• 通过计算纤维 $\mathcal{L}_+$ 与 $\mathcal{L}_-$ 在 $(q_x, q_y, t)$ 空间中的空间轨迹，获得其链环数（霍普夫不变量）。
• 通过固定 $\theta$ 时 $P_z(\mathbf{q}, t) = \cos\theta$ 的点，利用时间分辨自旋极化数据并拟合到拉比振荡模型，重建霍普夫环面。
• 利用紧束缚模型和霍普夫映射方程 $P_z(\mathbf{q}, t) = \cos\theta$ 的数值模拟，验证实验轨迹和拓扑不变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 在二维拓扑拉曼晶格的淬火动力学中，二维+1维的准动量-时间空间中是否能出现霍普夫链环结构？
• RQ2 作为北极和南极纤维链环数定义的动力学霍普夫数是否可实验测量，且是否等于淬火后哈密顿量的陈数？
• RQ3 在冷原子量子模拟器中是否能观测到包括嵌套霍普夫环面在内的完整霍普夫纤维丛结构？
• RQ4 当拉曼耦合强度和失谐参数等系统参数变化时，拓扑不变量（陈数）如何演化？
• RQ5 在 $(q_x, q_y, t)$ 空间中对自旋极化轨迹的实验测量，在多大程度上能忠实重建底层的纤维丛几何结构？

主要发现

• 实验观测到对应于北极和南极的纤维 $\mathcal{L}_+$ 与 $\mathcal{L}_-$ 之间的霍普夫链环，链环数 $I_H = \pm 1$ 对应于陈数 $C = \pm 1$。
• 当失谐 $\delta_f \in (-0.82E_r, 0.82E_r)$ 时，纤维相互链接，链环数为 $I_H = \pm 1$；当 $|\delta_f| > 0.82E_r$ 时，纤维解链，链环数为 $I_H = 0$，陈数 $C = 0$。
• 在布洛赫球面上不同纬线圈处的霍普夫环面被实验重建，显示出 $(q_x, q_y, t)$ 空间中嵌套且拓扑非平庸的填充结构。
• 从纤维链环数测得的动力学霍普夫数与淬火后哈密顿量的陈数完全一致，验证了理论预测。
• 基于紧束缚模型和霍普夫映射方程的数值模拟与实验数据高度吻合，验证了从自旋极化轨迹中提取拓扑不变量的可靠性。
• 本研究证明，二维拉曼晶格中的淬火动力学为观测如霍普夫数等高维拓扑不变量及其通过纤维丛的几何实现提供了可行平台。