[论文解读] Observations and Problems on k-abelian avoidability

Mari Huova, Juhani Karhumäki|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2011

semigroups and automata theory参考文献 4被引用 8

一句话总结

本文研究了 k-abelian 可避免性，这是对 abelian 和经典单词重复问题的细化，重点研究 2-abelian 平方和立方。通过计算枚举和结构分析，作者表明不存在无限的三元 2-abelian 平方自由词（最大长度为 537），而强有力的证据支持存在任意长的、可能无限的二元 2-abelian 立方自由词。

ABSTRACT

We introduce new avoidability problems for words by considering equivalence relations, k-abelian equivalences, which lie properly in between equality and commutative equality, i.e. abelian equality. For two k-abelian equivalent words the numbers of occurrences of different factors of length k coincide and the prefixies (resp. suffixies) of length k-1 are equal as well. The size of the smallest alphabet avoiding 2-repetitions of words, i.e. squares, is three and for abelian squares it is four. It follows that for 2-abelian squares this size has to be three or four. Similarly, the size of the smallest alphabet where 2-abelian cubes, i.e. 3-repetitions, can be avoided is two or three, because cubes (resp. abelian cubes) are avoidable in binary (resp. ternary) alphabet. We show that for 2-abelian squares the required size is four, as in the case of abelian squares. The longest 2-abelian square-free ternary word is of length 537. The question for 2-abelian cubes is open. Though, we have computational evidence that the size would be two, since there exists 2-abelian cube-free binary word of length 100 000, meaning that the 2-abelian case would behave like that of words.

研究动机与目标

• 探索 k-abelian 重复在无限词中的可避免性，这是对 abelian 和经典重复的推广。
• 确定构造避免 2-abelian 平方和立方的无限词所需的最小字母表大小。
• 研究基于同态的构造方法（在经典 Thue 型问题中成功）是否可推广至 k-abelian 设置。
• 通过计算枚举和基于树的探索，分析 2-abelian 平方自由词和立方自由词的增长与结构。

提出的方法

• 通过长度为 k−1 的前缀/后缀匹配以及所有 k 长度子串的计数相等，定义 k-abelian 等价性。
• 使用计算枚举法，在三元字母表上搜索最长的 2-abelian 平方自由词。
• 构建长度达 537 的所有 2-abelian 平方自由词的完整树，以分析其分布和增长。
• 应用类似的计算技术，对长度达 120 的二元 2-abelian 立方自由词进行计数和分析。
• 固定二元 2-abelian 立方自由词的长前缀，并追踪有效扩展的数量，以评估增长速率。
• 利用经验增长模式（每长度增量约 1.3 倍）推断无限 2-abelian 立方自由词存在的可能性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在三元字母表上，2-abelian 平方自由词的最大长度是多少？
• RQ2 是否存在一个二元字母表上的无限 2-abelian 立方自由词？
• RQ3 基于同态的构造方法（在经典 Thue 问题中有效）能否生成 2-abelian 立方自由词？
• RQ4 在各自字母表中，2-abelian 平方自由词和立方自由词的数量如何随词长增长？
• RQ5 在增长和分布方面，哪些结构特性可区分 2-abelian 平方自由词和立方自由词集合？

主要发现

• 在三元字母表上，最长的 2-abelian 平方自由词长度为 537，且该词在字母表置换下唯一。
• 长度为 105 的 2-abelian 平方自由词数量达到 404,286，是 1 到 537 范围内的最大值。
• 在长度超过 105 后，2-abelian 平方自由词的数量表现出振荡行为，表明存在结构约束。
• 在二元字母表上，可构造超过 100,000 个字符的 2-abelian 立方自由词，暗示可能存在无限此类词。
• 长度为 60 的二元 2-abelian 立方自由词数量为 478,456,030，每长度增量约增长 1.3 倍。
• 对于长度为 2000 的固定前缀，2-abelian 立方自由扩展的有效数量每长度步长约增长 1.3 倍，支持无限可避免性的猜想。