[论文解读] Observations on non-commutative field theories in coordinate space

David Berenstein, Robert G. Leigh|ArXiv.org|Feb 22, 2001

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 27被引用 5

一句话总结

本文在坐标空间中引入了伪局部、规范不变的算符，用于研究非交换场论，实现了位置空间关联函数的直接计算。结果表明，紫外/红外混合与维度约化现象自然源自关联函数中的偶极子型奇点，揭示了非局域性，并挑战了非交换设定下的标准威耳逊重整化方法。

ABSTRACT

We discuss non-commutative field theories in coordinate space. To do so we introduce pseudo-localized operators that represent interesting position dependent (gauge invariant) observables. The formalism may be applied to arbitrary field theories, with or without supersymmetry. The formalism has a number of intuitive advantages. First it makes clear the appearance of new degrees of freedom in the infrared. Second, it allows for a study of correlation functions of (composite) operators. Thus we calculate the two point function in position space of the insertion of certain composite operators. We demonstrate that, even at tree level, many of the by now familiar properties of non-commutative field theories are manifest and have simple interpretations. The form of correlation functions are such that certain singularities may be interpreted in terms of dimensional reduction along the non-commutative directions: this comes about because these are theories of fundamental dipoles.

研究动机与目标

• 开发一种非交换场论的坐标空间形式化方法，以实现对规范不变、位置依赖可观测量的研究。
• 理解由于紫外/红外混合导致的标准威耳逊重整化在非交换场论中的失效机制。
• 阐明新红外自由度的出现以及复合算符在非交换动力学中的作用。
• 为在树图层次计算非交换场论中复合算符的关联函数提供一个框架。
• 建立非交换场论奇点与非交换方向上维度约化之间的联系。

提出的方法

• 通过在非交换空间上对协变化平滑函数进行积分，构造伪局部算符，推广了交换理论中的局部算符。
• 利用协变化坐标 $\hat{x}^\mu = x^\mu + b^{\mu\nu}A_\nu$ 定义规范不变可观测量，其在规范变换下变换为伴随表示。
• 利用星积和李代数结构定义非交换场的动力学，场在规范群的左/右模或双模上变换。
• 推导协变导数 $D_j\phi = \partial_j\phi - i[A_j, \phi]$ 和曲率 $F_{23}$，以描述规范联络和场强。
• 将形式化应用于计算位置空间中的两点关联函数，揭示了非交换方向上的长程关联。
• 将关联函数中的奇点解释为由于理论中基本偶极子结构导致的维度约化信号。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在非交换场论中一致地定义规范不变、位置依赖的可观测量？
• RQ2 复合算符在非交换场论中扮演什么角色，其关联函数如何揭示新物理？
• RQ3 为何标准威耳逊重整化在非交换场论中失效，其替代机制是什么？
• RQ4 位置空间关联函数中的奇点如何与紫外/红外混合及维度约化相关联？
• RQ5 非交换场论的偶极子特性能否在关联函数结构中直接体现？

主要发现

• 复合算符在位置空间中的两点函数在非交换方向上表现出大距离奇点，而在交换方向上表现出小距离奇点，表明存在长程关联。
• 这些奇点被解释为由于理论的基本偶极子特性导致非交换方向上维度约化的证据。
• 即使在树图层次，该形式化也使紫外/红外混合与非局域性明显显现，表明非交换场论在标准意义上并非威耳逊型。
• 协变化坐标 $\hat{x}^\mu$ 构成构建规范不变可观测量的基础，并满足 $[\hat{x}_2, \hat{x}_3] = ib(1 - bF_{23})$，编码了规范场的曲率。
• 多迹算符无法在不引入辅助场的情况下写为局部作用量，这些辅助场在对偶引力描述中被解释为闭弦态。
• 该形式化自然容纳了超对称性与规范对称性，物质场谱对应于具有左/右模表示的奎iver图。