[论文解读] Obstructions for three-coloring graphs without induced paths on six vertices

Maria Chudnovsky, Jan Goedgebeur+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2015

Advanced Graph Theory Research参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文证明了恰好存在 24 个 4-临界 $P_6$-free 图，对 $P_6$-free 图中 3-可着色性的障碍物提供了完整分类。作者采用一种基于三脚架收缩的新型结构方法，并结合计算机辅助枚举，解决了 Golovach 等人以及 Seymour 提出的开放问题，即此类障碍物的有限性，并建立了二分性定理：4-临界 $H$-free 图是有限的，当且仅当 $H$ 是 $P_6$ 的子图。该结果使得 $P_6$-free 图中 3-可着色性的可验证算法成为可能。

ABSTRACT

We prove that there are 24 4-critical $P_6$-free graphs, and give the complete list. We remark that, if $H$ is connected and not a subgraph of $P_6$, there are infinitely many 4-critical $H$-free graphs. Our result answers questions of Golovach et al. and Seymour.

研究动机与目标

• 解决 Golovach 等人以及 Seymour 提出的开放问题：4-临界 $P_6$-free 图的数量是否有限。
• 提供所有 4-临界 $P_6$-free 圖的完整分类，这些图是 3-可着色性的障碍物。
• 建立一个二分性定理：4-临界 $H$-free 圖是有限的，当且仅当 $H$ 是 $P_6$ 的子图。
• 基于障碍物的有限性，开发一种 $P_6$-free 圖中 3-可着色性的可验证算法。

提出的方法

• 作者引入并利用了三脚架（tripods）的概念——特定的子图，可在不破坏 $P_6$-free 圖中 4-临界性的前提下被收缩为三角形。
• 通过将 4-临界 $P_6$-free 圖分为两种情况来分类：所有极大三脚架均为三角形（无钻石图情况）与并非全部为三角形的情况。
• 在无钻石图情况下，采用基于 Hoàng 等人技术的强化版本的计算机辅助方法，枚举所有此类图。
• 在非三脚架情况下，通过基于顶点排序与着色约束的强剪枝规则，执行详尽的计算机搜索，将图的大小限制在最多 18 个顶点。
• 通过第二次计算机搜索（允许存在钻石图）验证，所有含最多 28 个顶点的 4-临界 $P_6$-free 图均包含在 24 个图的完整列表中。
• 通过 Pokrovskiy 的构造方法，证明 $P_7$-free 圖存在无限多个 4-临界图，从而完成二分性定理的证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 如 Golovach 等人所猜想，4-临界 $P_6$-free 圖的数量是否有限？
• RQ2 能否构建出所有 4-临界 $P_6$-free 圖的完整列表，其大小是多少？
• RQ3 是否存在一种结构二分性：4-临界 $H$-free 圖是有限的，当且仅当 $H$ 是 $P_6$ 的子图？
• RQ4 能否基于有限障碍物集，设计一种基于可验证算法的 $P_6$-free 圖中 3-可着色性判定方法？

主要发现

• 恰好存在 24 个 4-临界 $P_6$-free 圖，完整列表在文中以 $F_1$ 至 $F_{24}$ 列出，其邻接表见附录。
• 该列表包含一些著名图，如 $K_4$、5-轮图、Moser 梳妆镜图，以及 Grötzsch 图（$F_{18}$）。
• 恰好存在 80 个 4-顶点临界 $P_6$-free 圖，证实了更精细的分类。
• 本文建立了二分性定理：对于连通图 $H$，4-临界 $H$-free 圖是有限的，当且仅当 $H$ 是 $P_6$ 的子图。
• 本文证明了存在无限多个 4-临界 $P_7$-free 圖，使用了 Pokrovskiy 的构造方法，表明 $P_6$ 是障碍物集有限的最长路径。
• 结果意味着 $P_6$-free 圖中 3-可着色性存在可验证算法，因为有限障碍物集允许构造决策过程。