[论文解读] Obstructions to deforming curves on a 3-fold, I: A generalization of Mumford's example and an application to Hom schemes

Shigeru Mukai, Hirokazu Nasu|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用 7

一句话总结

本文通过使用相对于中间曲面的法丛的外部分量，建立了三维流形上曲线的一阶形变被阻碍的充分条件。该方法被应用于构造单连通三维流形的 Hilbert 空间中的一般非约分量，并证明了从一般亏格 5 曲线到一般立方三维流形的 Hom 空间中存在一般非约不可约分量。

ABSTRACT

We give a sufficient condition for a first order infinitesimal deformation of a curve on a 3-fold to be obstructed. As application we construct generically non-reduced components of the Hilbert schemes of uniruled 3-folds and the Hom scheme from a general curve of genus five to a general cubic 3-fold.

研究动机与目标

• 为三维流形上曲线的一阶无穷小形变的阻碍提供一个充分条件。
• 将 Mumford 关于非约 Hilbert 空间的例子推广到更广泛的单连通三维流形类别。
• 将阻碍判据应用于构造从亏格 5 曲线到立方三维流形的度数 8 映射的 Hom 空间中的一般非约分量。
• 通过在一般模条件下的非约分量展示，解决 Hom 空间光滑性问题。
• 使用半连续性与未投影技术，将分析扩展到一般与费马型立方三维流形。

提出的方法

• 引入法丛 $ N_{S/V} $ 的有理截面 $ v $，其在 $(-1)$-曲线 $ E $ 上具有单极点，从而在 $ H^0(N_{S/V}(E)) \setminus H^0(N_{S/V}) $ 中产生一个截面。
• 为 $ C \subset V $ 的形变 $ \tilde{C} $ 定义外部分量 $ \pi_S(\alpha) \in H^0(N_{S/V}|_C) $，并利用其检测阻碍。
• 通过将正合列 $ 0 \to N_{E/S} \to N_{E/V} \to N_{S/V}|_E \to 0 $ 与 $ \mathcal{O}_S(E) $ 张量化，利用上边缘映射 $ \partial $ 分析阻碍条件。
• 证明若 $ (E^2) < 0 $ 且定理 1.6 中的条件 (a) 和 (b) 成立，则 $ \operatorname{ob}(\alpha) \neq 0 $，即存在阻碍。
• 将该判据应用于构造满足 $ p_g(S) = h^1(N_{S/V}) = 0 $ 且 $ N_{E/V} $ 全局生成的单连通三维流形 $ V $ 的 $ \operatorname{Hilb}^{sc}V $ 中的无穷多个一般非约不可约分量 $ W_n $。
• 利用未投影与亏格 5 曲线的典范模型，将 Hilbert 空间与 Hom 空间关联，证明对于一般 $[X] \in \mathfrak{M}_5 $，其纤维为一般非约的。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，三维流形上曲线的一阶形变会被阻碍？
• RQ2 Mumford 关于非约 Hilbert 空间的例子能否推广到其他单连通三维流形？
• RQ3 对于一般亏格 5 曲线 $ X $ 与一般立方三维流形 $ V_3 $，Hom 空间 $ \operatorname{Hom}_8(X, V_3) $ 中是否存在一般非约分量？
• RQ4 从立方三维流形的超平面截面到模空间 $ \mathfrak{M}_5 $ 的分类映射是否为满射？
• RQ5 能否通过半连续性，将 Hom 空间的非约性从费马情形推广到所有光滑立方三维流形？

主要发现

• 当 $ C, E \subset S \subset V $，$ E $ 为 $(-1)$-曲线，且 $ v \in H^0(N_{S/V}(E)) \setminus H^0(N_{S/V}) $ 满足特定上同调条件时，给出了曲线 $ C \subset V $ 的一阶形变 $ \tilde{C} $ 的阻碍的充分条件，其以外部分量 $ \pi_S(\alpha) $ 表示。
• 对于任意单连通三维流形 $ V $，若其包含光滑曲面 $ S \subset V $，$(-1)$-曲线 $ E \subset S $，$ N_{E/V} $ 全局生成，且 $ p_g(S) = h^1(N_{S/V}) = 0 $，则 Hilbert 空间 $ \operatorname{Hilb}^{sc}V $ 包含无穷多个一般非约不可约分量 $ W_n $。
• 对于一般亏格 5 曲线 $ X $ 与一般立方三维流形 $ V_3 \subset \mathbb{P}^4 $，Hom 空间 $ \operatorname{Hom}_8(X, V_3) $ 的一个不可约分量具有预期维数 4，且为一般非约的。
• 在费马情形 $ V_3^{\rm Fermat} $ 中，分类态射 $ \varphi^{\rm Fermat}: \tilde{W}^{\rm Fermat} \to \mathfrak{M}_5 $ 是满射，且纤维 $ T^{\rm Fermat} $ 为维数 4 的一般非约分量。
• 由纤维维数的上半连续性，一般 $ V_3 $ 的非约性结果可由费马情形推出。
• Hom 空间中非约分量的存在性否定地解决了问题 1.4：对于一般 $ X $ 与 $ V' $，$ \operatorname{Hom}(X, V') $ 的所有分量并非都是一般光滑的。