[论文解读] Obstructions to deforming maps from curves to surfaces

Takeo Nishinou|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文将经典的半正则性概念扩展至从曲线到曲面的映射，通过引入一种基于映射的局部半正则性条件，实现了对奇异曲线（特别是节点型与非约化曲线）形变的控制。关键结果表明，若从约化曲线到曲面的映射在此扩展意义下为半正则，则其形变无阻碍，从而可在一般型曲面上实现具有大量节点的曲线的几何受控构造。

ABSTRACT

This paper studies the obstructions to deforming a map from a complex variety to another variety which is an immersion of codimension one. We extend the classical notion of semiregularity of subvarieties to maps between varieties, and show that it largely extends the applicability. Then we apply the main result to several situations. First, we give deformations of non-reduced curves on surfaces in a geometrically controlled way. Also, we give a simple but effective criterion for the vanishing of the obstructions to equisingular deformations of nodal curves on surfaces. Finally, we construct nodal curves with very small geometric genus on surfaces of general type.

研究动机与目标

• 将经典的半正则性条件从子簇推广至变体之间的映射，特别是从曲线到曲面。
• 为曲面上奇异曲线的无阻碍形变提供一种局部的、基于映射的判别准则。
• 利用基于映射的半正则性条件，在一般型曲面上构造具有极大数量节点的节点型曲线，其中经典形变理论失效。
• 通过限制映射的定义域来控制形变后曲线的几何性质，从而实现等 singularity（等奇性）与非约化曲线的形变控制。

提出的方法

• 为映射 φ: V → X 引入一种新的半正则性概念，其中 V 为光滑簇（dim X > 2）或约化曲线（dim X = 2），X 为光滑曲面。
• 通过正常层 Nφ 的上同调中障碍的消失来定义 φ 的半正则性，利用涉及 Nφ(−P) 与节点处的钉状层的正合列。
• 运用 Serre 对偶性与 Leray 谱序列，将 Nφ 的上同调与定义曲线上典范丛的全局截面联系起来。
• 建立图像为节点型曲线的映射半正则性的判别准则：φ 为半正则当且仅当对每个节点 pi，存在图像曲线的一阶形变可消除 pi 但不消除其他节点。
• 通过拼接半正则分量并利用限制与上推导下法丛的相容性，将准则应用于可约曲线。
• 通过迭代添加可消除单个节点的法丛截面来构造节点型曲线的形变，利用定理 24 确保形变可代数延拓。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典的半正则性条件能否从子簇推广至从曲线到曲面的映射，以实现对奇异曲线形变性质的控制？
• RQ2 何种局部判别准则可确保从约化曲线到曲面的映射在其形变空间中无阻碍？
• RQ3 能否利用基于映射的半正则性条件，在一般型曲面上构造具有极大数量节点的节点型曲线？
• RQ4 如何利用扩展的半正则性框架，以几何受控方式形变非约化曲线？
• RQ5 何种条件可确保节点型曲线的形变保持等奇性或控制节点数量？

主要发现

• 若映射 φ: V → X 在扩展意义下为半正则，则其无阻碍，即所有一阶形变均可延拓至高阶形变。
• 当 X 的典范丛平凡时，任意从约化曲线的浸入映射均为半正则，从而实现非约化曲线的无阻碍形变。
• 对于节点型曲线，φ 为半正则当且仅当对每个节点 pi，存在图像曲线的一阶形变可消除 pi 但不消除其他节点。
• 通过线性系统给出的判别准则表明：φ 为半正则当且仅当对每个节点 pi，存在一个代数等价于 φ(C) 的有效除子，其避开 pi 但通过所有其他节点。
• 形变后曲线 C(n) 的几何亏格满足不等式 ng(C1) + (n−1)KX·L，且当 L 充分充分ample 时，节点数可满足 Aδ(C) > g(C)²。
• 曲面 X 存在一个满足半正则性条件的节点型曲线族，证明了在一般型曲面上存在具有极大数量节点的曲线。