[论文解读] Obstructions to Lagrangian Cobordisms between Legendrian Submanifolds

Joshua M. Sabloff, Lisa Traynor|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 34被引用 9

一句话总结

本文通过基于缠绕弗洛尔上同调与映射锥构造的类似TQFT的框架，引入了在1-余切丛的辛化空间中，Legendrian子流形之间的嵌入拉格朗日子流形cobordism的生成族障碍。该文证明了Chekanov-Eliashberg $m(5_2)$ knots不存在与生成族相容的cobordism，并建立了生成族上同调与零cobordism上庞加莱对偶性之间的对偶结构，从而推导出具有在无穷远处线性生成族的Legendrian子流形的Arnold猜想。

ABSTRACT

The technique of generating families produces obstructions to the existence of embedded Lagrangian cobordisms between Legendrian submanifolds in the symplectizations of 1-jet bundles. In fact, generating families may be used to construct a TQFT-like theory that, in addition to giving the aforementioned obstructions, yield structural information about invariants of Legendrian submanifolds. For example, the obstructions devised in this paper show that there is no generating family compatible Lagrangian cobordism between the Chekanov-Eliashberg Legendrian $m(5_2)$ knots. Further, the generating family cohomology groups of a Legendrian submanifold restrict the topology of a null-cobordism. Structurally, the generating family cohomology of a Legendrian submanifold satisfies a type of Alexander duality that, when the Legendrian is null-cobordant, can be seen as Poincar\'e duality of the associated Lagrangian null-cobordism. This duality implies the Arnold Conjecture for Legendrian submanifolds with linear-at-infinity generating families. The results are obtained by developing a generating family version of wrapped Floer cohomology and establishing long exact sequences that arise from viewing the the spaces underlying these cohomology groups as mapping cones.

研究动机与目标

• 开发一种基于生成族的嵌入拉格朗日子流形cobordism存在性的阻碍方法，用于Legendrian子流形。
• 从生成族构建一个类似TQFT的理论，以获得Legendrian子流形的结构性不变量。
• 通过生成族上同调群理解零cobordism上的拓扑约束。
• 在生成族上同调与拉格朗日子流形零cobordism的拓扑之间建立类似亚历山大对偶与庞加莱对偶的对偶结构。
• 证明具有在无穷远处线性生成族的Legendrian子流形的Arnold猜想。

提出的方法

• 本文构建了生成族版本的缠绕弗洛尔上同调，以分析Legendrian子流形的不变量。
• 通过将生成族上同调群的底层空间建模为映射锥，推导出长正合序列。
• 该理论被应用于通过上同调对偶关系研究拉格朗日子流形零cobordism的拓扑。
• 作者利用类似TQFT的结构推导出cobordism存在的阻碍，特别是针对特定Legendrian纽结。
• 证明该对偶性在Legendrian为零cobordant时退化为庞加莱对偶性，将上同调结构与流形拓扑联系起来。
• 该方法依赖于映射锥构造的代数性质以及生成族在辛cobordism下的行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用生成族阻碍1-余切丛中Legendrian子流形之间的嵌入拉格朗日子流形cobordism的存在性？
• RQ2 从生成族上同调群中可以推导出Legendrian子流形的哪些结构性不变量？
• RQ3 Legendrian的生成族上同调如何与它的拉格朗日子流形零cobordism的拓扑相关联？
• RQ4 在零cobordant Legendrian的背景下，生成族上同调中是否会出现类似亚历山大对偶或庞加莱对偶的对偶结构？
• RQ5 该对偶结构是否意味着具有在无穷远处线性生成族的Legendrian子流形的Arnold猜想？

主要发现

• Chekanov-Eliashberg Legendrian $m(5_2)$纽结之间不存在与生成族相容的拉格朗日子流形cobordism。
• Legendrian子流形的生成族上同调群约束了其可能边界的所有零cobordism的可能拓扑。
• 当Legendrian为零cobordant时，其生成族上同调满足一种对偶性，该对偶性对应于相关拉格朗日子流形cobordism上的庞加莱对偶性。
• 生成族上同调中的对偶结构被证明是一种亚历山大对偶形式，在零cobordant情况下退化为庞加莱对偶性。
• 对偶性与上同调结构共同推导出具有在无穷远处线性生成族的Legendrian子流形的Arnold猜想。
• 通过缠绕弗洛尔上同调与映射锥构建类似TQFT的理论，为推导阻碍与结构性结果提供了稳健的框架。