[论文解读] Obstructions to the existence of smooth solutions to the Plateau Problem in the Heisenberg group

Scott D. Pauls|arXiv (Cornell University)|May 13, 2005

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用 2

一句话总结

本文研究了海森堡群中低正则性的H-极小图，证明非特征C¹ H-极小图是具有C²母线的可展曲面。利用Franchi、Serapioni与Serra Cassano的结构定理，表明任意H-极小曲面（至多忽略测度为零的集合）可分解为这类曲面片的并集。研究建立了光滑解存在性的充要条件，通过构造显式例子表明，即使边界数据光滑，H-极小图也不一定为C²。

ABSTRACT

ABSTRACT. In this paper we investigate H-minimal graphs of lower regularity. We show that noncharactersitic C 1 H-minimal graphs are ruled surfaces with C 2 seed curves. Moreover, in light of a structure theorem of Franchi, Serapioni and Serra Cassano, we see that any H-minimal surface is, up to a set of perimeter zero, composed of such pieces. Along these lines, we investigate ways in which patches of C 1 H-minimal graphs can be glued together to form continuous piecewise C 1 H-minimal surfaces. We apply this description of H-minimal graphs to the question of the existence of smooth solutions to the Dirichlet problem with smooth data. We find a necessary and sufficient condition for the existence of smooth solutions and produce examples where the conditions are satisfied and where they fail. In particular we illustrate the failure of the smoothness of the data to force smoothness of the solution to the Dirichlet problem by producing a class of curves whoses H-minimal spanning graphs cannot be C 2. 1.

研究动机与目标

• 分析海森堡群中低正则性H-极小图的几何结构。
• 确定在何种条件下，光滑边界数据的Dirichlet问题存在光滑解。
• 研究C¹ H-极小图片块拼接为连续分片C¹ H-极小曲面的条件。
• 识别尽管边界数据光滑，解仍可能不光滑的障碍。
• 提供显式例子，说明H-极小填充图即使在边界曲线光滑时也可能不是C²。

提出的方法

• 应用Franchi、Serapioni与Serra Cassano的结构定理，将H-极小曲面分解为具有C²母线的曲面片。
• 分析非特征C¹ H-极小图的几何性质，并证明其为可展曲面。
• 利用子黎曼几何中水平极小曲面的理论，刻画解的正则性。
• 构造光滑边界曲线的显式例子，其H-极小填充图不是C²。
• 研究C¹ H-极小图片块拼接为连续分片C¹ H-极小曲面所需的相容性条件。
• 从边界数据的几何性质出发，推导出Dirichlet问题存在C²解的充要条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 海森堡群中非特征C¹ H-极小图的几何结构是什么？
• RQ2 在何种条件下，C¹ H-极小图片块可拼接为连续分片C¹ H-极小曲面？
• RQ3 海森堡群中Dirichlet问题存在光滑（C²）解的充要条件是什么？
• RQ4 海森堡群中光滑边界数据是否可能无法产生C² H-极小解？
• RQ5 是否存在光滑曲线，其H-极小填充图不是C²？

主要发现

• 海森堡群中非特征C¹ H-极小图是具有C²母线的可展曲面。
• 任意H-极小曲面（至多忽略测度为零的集合）可表示为这类C¹可展曲面片的并集。
• 从边界数据的几何相容性出发，推导出Dirichlet问题存在C²解的充要条件。
• 存在海森堡群中的光滑边界曲线，其H-极小填充图不是C²，表明光滑数据不能保证解的光滑性。
• 本文构造了此类曲线的显式例子，说明在子黎曼几何设定下，光滑性传播机制可能失效。
• 结果表明，海森堡群中Plateau问题解的正则性从根本上受限于边界几何与水平结构。