[论文解读] Obtaining intermediate rings of a local profinite Galois extension without localization

Daniel G. Davis|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文证明，在完备群伽罗瓦扩张中的中间 $K(n)$-局部谱——如 $E_n^{hH}$、$L_{K(n)}(S^0)$ 和 $L_{K(n)}(X)$——可直接作为单个离散 $G_n$-谱 $F_n$ 的同伦固定点获得，而无需使用谱塔或后续的 $K(n)$-局部化。关键结果是：对任意开子群 $U \leq G_n$，有 $E_n^{hU} \simeq (F_n)^{hU}$，从而消除了在固定点运算后进行局部化的需要。

ABSTRACT

Let E_n be the Lubin-Tate spectrum and let G_n be the nth extended Morava stabilizer group. Then there is a discrete G_n-spectrum F_n, with L_{K(n)}(F_n) \simeq E_n, that has the property that (F_n)^{hU} \simeq E_n^{hU}, for every open subgroup U of G_n. In particular, (F_n)^{hG_n} \simeq L_{K(n)}(S^0). More generally, for any closed subgroup H of G_n, there is a discrete H-spectrum Z_{n, H}, such that (Z_{n, H})^{hH} \simeq E_n^{hH}. These conclusions are obtained from results about consistent k-local profinite G-Galois extensions E of finite vcd, where L_k(-) is L_M(L_T(-)), with M a finite spectrum and T smashing. For example, we show that L_k(E^{hH}) \simeq E^{hH}, for every open subgroup H of G.

研究动机与目标

• 证明像 $E_n^{hH}$ 这类 $K(n)$-局部谱可在不进行 $K(n)$-局部化的情况下，通过同伦固定点运算获得。
• 消除在构造 $K(n)$-局部同伦固定点时对离散 $G_n$-谱塔的依赖。
• 建立单个离散 $G_n$-谱 $F_n$ 足够用于通过同伦固定点恢复 $L_{K(n)}(S^0)$ 和 $L_{K(n)}(X)$。
• 将此结果推广至有限虚拟上同调维数（vcd）的、一致且忠实的 $k$-局部完备群 $G$-伽罗瓦扩张。

提出的方法

• 将 $F_n$ 构造为 $E_n^{dhN}$ 在所有开正规子群 $N \triangleleft_o G_n$ 上的纤维化替换的上极限，从而得到一个离散 $G_n$-谱。
• 利用等价式 $E_n^{hH} \simeq \operatorname{holim}_i (F_n \wedge M_i)^{hH}$，其中 $\{M_i\}$ 是广义莫尔谱的塔。
• 证明对于一致的 $k$-局部完备群 $G$-伽罗瓦扩张，有 $L_k(E^{hH}) \simeq \left(\operatorname{colim}_{V \triangleleft_o H} L_k((E_{fG})^V)\right)^{hH}$。
• 证明对于忠实扩张，有 $L_k(E^{hH}) \simeq \left(\operatorname{colim}_{V \triangleleft_o H} L_k((E_{fG})^V)\right)^{hH}$，且该上极限与 $H$ 的结构无关。
• 在 $\Sigma\mathrm{Sp}_H$ 中建立弱等价 $\operatorname{colim}_{V \triangleleft_o H} L_k((E_{fG})^V) \xrightarrow{\simeq} \operatorname{colim}_{V \triangleleft_o H} L_k((E_{fH})^V)$，从而实现直接计算。
• 利用纤维化替换函子和 $K(n)$-局部化函子，将 $E_n^{hH}$ 与 $F_n$ 的固定点联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不进行 $K(n)$-局部化的情况下，将 $E_n^{hH}$ 作为单个离散 $G_n$-谱的同伦固定点获得？
• RQ2 构造 $K(n)$-局部同伦固定点是否必须使用谱塔？
• RQ3 仅通过 $F_n$ 的同伦固定点能否实现 $L_{K(n)}(S^0)$ 的构造？
• RQ4 忠实的 $k$-局部伽罗瓦扩张结构是否允许对所有子群 $H$ 实现 $L_k(E^{hH})$ 的统一构造？
• RQ5 能否消除固定点谱对 $H$ 的依赖，转而使用一个通用的离散 $H$-谱？

主要发现

• 对任意开子群 $U \leq G_n$，有 $E_n^{hU} \simeq (F_n)^{hU}$，表明 $K(n)$-局部谱可直接由单个离散 $G_n$-谱的固定点获得。
• 谱 $F_n$ 是一个离散 $G_n$-谱，且满足 $(F_n)^{hG_n} \simeq L_{K(n)}(S^0)$，从而在不进行 $K(n)$-局部化的情况下恢复了霍普金斯-米勒谱。
• 对任意闭子群 $H \leq G_n$，存在一个离散 $H$-谱 $Z_{n,H}$，使得 $(Z_{n,H})^{hH} \simeq E_n^{hH}$，为每个 $H$ 提供了统一的构造方法。
• 对于一致且忠实的 $k$-局部完备群 $G$-伽罗瓦扩张（有限 vcd），等价式 $L_k(E^{hH}) \simeq \left(\operatorname{colim}_{V \triangleleft_o H} L_k((E_{fG})^V)\right)^{hH}$ 成立。
• 上极限 $\operatorname{colim}_{V \triangleleft_o H} L_k((E_{fG})^V)$ 是一个离散 $H$-谱，其 $H$-同伦固定点可直接给出 $L_k(E^{hH})$，无需进一步局部化。
• 该构造被推广至 $k$-局部完备群伽罗瓦扩张，其中 $L_k(-) = L_M(L_T(-))$，$M$ 有限且 $T$ 为乘积型，且在忠实性条件下结果依然成立。