[论文解读] Occupation times of refracted Lévy processes

Andreas E. Kyprianou, Juan Carlos Pardo+1 more|arXiv (Cornell University)|May 3, 2012

Probability and Risk Models参考文献 8被引用 8

一句话总结

本文推导了折射Lévy过程的占用时间的显式恒等式——即在阈值水平b以上减去线性漂移的谱负Lévy过程。利用scale函数与波动理论，建立了在吸收或离开区间前位于b以下的时间的拉普拉斯变换，扩展了与保险风险中巴黎 ruin 模型和股息支付模型相关的成果。

ABSTRACT

A refracted Lévy process is a Lévy process whose dynamics change by subtracting off a fixed linear drift (of suitable size) whenever the aggregate process is above a pre-specified level. More precisely, whenever it exists, a refracted Lévy process is described by the unique strong solution to the stochastic differential equation \[ \ud U_t=-δ\mathbf{1}_{\{U_t&gt;b\}}\ud t +\ud X_t, \] where $X=(X_t, t\ge 0)$ is a Lévy process with law $\p$ and $b,δ\in \R$ such that the resulting process $U$ may visit the half line $(b,\infty)$ with positive probability. In this paper, we consider the case that $X$ is spectrally negative and establish a number of identities for the following functionals \[ \int_0^\infty\mathbf{1}_{\{U_t<b> a\}$ and $ρ^-_c=\inf\{t\ge 0: U_t&lt; c\}$ for $c<b></b></b>

研究动机与目标

• 推导折射Lévy过程占用时间的精确分布恒等式，特别是位于阈值水平b以下的时间。
• 通过分析首次通过a以上或c以下的时间（c < b < a），扩展近期关于巴黎 ruin 和股息支付模型的结果。
• 利用scale函数与谱负Lévy过程的Wiener-Hopf分解，建立占用时间泛函的拉普拉斯变换。
• 表征在长期中位于b以下的总时间的分布，特别是当过程漂向无穷大时的情形。
• 为折射Lévy过程中的占用时间提供一个完整的解析框架，应用于保险风险与金融工程。

提出的方法

• 将折射Lévy过程U建模为SDE dUt = dXt − δ1{Ut > b}dt的解，其中X为谱负Lévy过程。
• 应用与X相关的scale函数W^{(θ)}和Z^{(θ)}，推导占用时间泛函的拉普拉斯变换。
• 利用Wiener-Hopf分解与指数倾斜技术，分析首次通过时间ρ⁺_a与ρ⁻_c。
• 通过指数函数恒等式推导占用时间与首次通过时间的联合拉普拉斯变换。
• 取极限a → −∞与c → ∞，以恢复无限时域的占用时间分布。
• 将b以下的总占用时间密度表示为上升 ladder 高度测度的卷积级数形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在折射过程首次离开区间(c,a)之前，低于水平b的占用时间的拉普拉斯变换是什么？
• RQ2 当过程被吸收或在无限时间内被吸收时，位于b以下的总时间的分布行为如何？
• RQ3 在长期中，b以下的占用时间密度的显式形式是什么，特别是当过程漂向无穷大时？
• RQ4 这些结果如何扩展保险风险中关于巴黎 ruin 和股息支付模型的先前发现？
• RQ5 当边界a与c分别趋于±∞时，占用时间分布的极限行为是什么？

主要发现

• 在ℙ_b下，∫₀^∞ 1{Ut < b} dt的拉普拉斯变换为(ψ′(0+)-δ)Φ(θ)/θ × 1/(1 − δΦ(θ)/θ)，其中Φ为上升ladder高度过程的拉普拉斯指数。
• 位于b以下的总占用时间的分布为复合几何混合分布：(ψ′(0+)/δ − 1) × ∑_{n≥1} δ^n μ^{*n}(dx)，其中μ为与ladder高度过程相关的测度。
• b以下的占用时间密度在零处有一个原子，其大小为(ψ′(0+)/δ − 1) × δa / (1 − δa)，其中a为上升ladder过程的漂移。
• 当c → ∞时，占用时间与首次通过a以上时间的联合拉普拉斯变换收敛至包含W^{(θ)′}(b−a)/W^{(θ)}(b−a)的表达式，反映了平稳行为。
• 当a → −∞时，首次击中c前的占用时间的拉普拉斯变换收敛至W^{(θ)′}(c−b)/W^{(θ)}(c−b)，对应于scale函数导数的比值。
• 无限时域占用时间的恒等式在有界与无界变差路径中均成立，通过逼近与极限论证得到验证。