[论文解读] Octahedral, dicyclic and special linear solutions of some unsolved Hamilton-Waterloo problems

Simona Bonvicini, Marco Buratti|arXiv (Cornell University)|Feb 29, 2016

graph theory and CDMA systems参考文献 6被引用 7

一句话总结

本文通过使用非交换群构造完全图与鸡尾酒会图的正则2-因子分解，为九个此前未解决的哈密顿-沃特尔问题（HWPs）提供了严格顶点传递的解法。针对 K₄₈−I 使用二元八面体群，针对 K₂₄−I 使用特殊线性群 SL₂(3)，实现了具有指定三角形与四边形因子的 G-正则分解，从而解决了 Dantziger、Quattrocchi 与 Stevens 所遗留的所有开放问题。

ABSTRACT

We give a sharply-vertex-transitive solution of each of the nine Hamilton-Waterloo problems left open by Danziger, Quattrocchi and Stevens.

研究动机与目标

• 解决 Dantziger、Quattrocchi 与 Stevens 遗留的九个未解决的哈密顿-沃特尔问题（HWPs）。
• 使用具有单个对合的非交换群，构造完全图与鸡尾酒会图的严格顶点传递（G-正则）2-因子分解。
• 证明在 K₄₈−I 与 K₂₄−I 中，对于指定数量的三角形因子与四边形因子，此类因子分解存在。
• 应用非交换群上凯莱图的偏差方法，实现环分解并导出2-因子分解。
• 建立 HWP(48;3,4;5,18)、HWP(48;3,4;7,16)、HWP(48;3,4;9,14)、HWP(48;3,4;13,10)、HWP(48;3,4;15,8)、HWP(48;3,4;17,6) 与 HWP(24;3,4;5,5) 的 G-正则解的存在性。

提出的方法

• 作者使用二元八面体群 G（记作 ḞO）作为 K₄₈−I 的顶点传递自同构群，构造 G∖{1} 与 G∖{1,−1} 上的凯莱图。
• 他们在 G 的凯莱图中定义了九个基环 C₁ 到 C₉，每个环的稳定子群可实现通过偏差的轨道分解。
• 对于每个基环 Cᵢ，轨道 Orb_G(Cᵢ) 构成凯莱图 Cay[G:Ωᵢ] 的环分解，其中 Ωᵢ 是 G 的对称子集。
• 通过对偏差计算得到对称子集 Ωᵢ，并证明其划分 G∖{1,−1}，从而确保 K₄₈−I 的完整分解。
• 2-因子 Fᵢ 由子群 Sᵢ（K、G 或 L）作用下的轨道构成，其稳定子群确保轨道长度分别为 3、1 或 4。
• 对于 K₂₄−I，使用特殊线性群 SL₂(3) 作为顶点传递群，基环 C₁ 到 C₆ 通过将 G∖{E,2E} 划分为对称集 Ωᵢ，实现 K₂₄−I 的 G-正则环分解。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个 G-正则 2-因子分解，使得 K₄₈−I 恰好包含 r 个三角形因子，其余为四边形因子，其中 r ∈ {5,7,9,13,15,17}？
• RQ2 能否构造一个 G-正则 2-因子分解，使得 K₂₄−I 恰好包含 r 个三角形因子，其余因子为四边形，其中 r ∈ {5,7,9}？
• RQ3 非交换凯莱图中的偏差方法是否可用于构造完全图与鸡尾酒会图的严格顶点传递 2-因子分解？
• RQ4 是否能够使用恰好具有一个对合的群及特定子群稳定子，实现 K₄₈−I 与 K₂₄−I 的正则 2-因子分解？
• RQ5 由偏差导出的对称子集 Ωᵢ 是否能将群去掉单位元与对合后完全划分，从而确保完整的环分解？

主要发现

• 存在一个 G-正则 2-因子分解，使得 K₄₈−I 恰好包含 5 个三角形因子与 18 个四边形因子，从而解决了 HWP(48;3,4;5,18)。
• 存在一个 G-正则 2-因子分解，使得 K₄₈−I 恰好包含 7 个三角形因子与 16 个四边形因子，从而解决了 HWP(48;3,4;7,16)。
• 存在一个 G-正则 2-因子分解，使得 K₄₈−I 恰好包含 9 个三角形因子与 14 个四边形因子，从而解决了 HWP(48;3,4;9,14)。
• 存在一个 G-正则 2-因子分解，使得 K₄₈−I 恰好包含 13 个三角形因子与 10 个四边形因子，从而解决了 HWP(48;3,4;13,10)。
• 存在一个 G-正则 2-因子分解，使得 K₄₈−I 恰好包含 15 个三角形因子与 8 个四边形因子，从而解决了 HWP(48;3,4;15,8)。
• 存在一个 G-正则 2-因子分解，使得 K₄₈−I 恰好包含 17 个三角形因子与 6 个四边形因子，从而解决了 HWP(48;3,4;17,6)，同时存在一个 G-正则 2-因子分解，使得 K₂₄−I 包含 5 个三角形因子与 5 个四边形因子，从而解决了 HWP(24;3,4;5,5)。