[论文解读] Octal Bent Generalized Boolean Functions

Pante Stanica, Thor Martinsen|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2011

Coding theory and cryptography参考文献 7被引用 11

一句话总结

本文表征了从 $ℤ_2^n$ 到 $ℤ_8$ 的八元广义 Bent 函数（gbent），为偶数和奇数 $n$ 提供了显式构造。研究证明，当四个特定的布尔函数为 Bent 函数且满足互相关条件时，$“\mathcal{GB}_{n+2}^8$ 中存在 gbent 函数，并通过代数分解和 Walsh–Hadamard 变换的性质推导出新构造，证明广义 Walsh–Hadamard 变换对所有输入均具有单位模长。

ABSTRACT

In this paper we characterize (octal) bent generalized Boolean functions defined on $\BBZ_2^n$ with values in $\BBZ_8$. Moreover, we propose several constructions of such generalized bent functions for both $n$ even and $n$ odd.

研究动机与目标

• 表征定义在 $ℤ_2^n$ 上取值于 $ℤ_8$ 的广义 Bent 函数（八元 gbent 函数）。
• 为偶数和奇数 $n$ 提供八元 gbent 函数的显式构造。
• 建立涉及 Bent 布尔函数及其互相关的必要与充分条件，以确保此类 gbent 函数的存在性。
• 通过分析 $ℤ_8$ 上的广义 Walsh–Hadamard 变换，将广义 Bent 函数理论从二元情形扩展至更一般情形。

提出的方法

• 本文使用基于 8 次单位根 $ζ = e^{2\pi i/8}$ 的 $ℤ_8$ 上广义 Walsh–Hadamard 变换，分析 $“\mathcal{GB}_n^8$ 中函数的谱性质。
• 通过 $f(\mathbf{x}) = a_0(\mathbf{x}) + 2a_1(\mathbf{x}) + 4a_2(\mathbf{x})$ 将函数 $f: ℤ_2^n \to \u2124_8$ 分解为布尔函数之和，其中 $a_i \in \mathcal{B}_n$。
• 核心方法为计算广义 Walsh–Hadamard 变换 $\mathcal{H}_f(\mathbf{u}) = 2^{-n/2} \sum_{\mathbf{x} \in \u2124_2^n} \zeta^{f(\mathbf{x})} (-1)^{\mathbf{u} \cdot \mathbf{x}}$，并要求对所有 $\mathbf{u}$ 满足 $|\mathcal{H}_f(\mathbf{u})| = 1$。
• 通过组合四个 Bent 布尔函数 $a, b, c, a\oplus b\oplus c$ 与涉及变量 $y, z$ 和参数 $\epsilon \in \{1, -1\}$ 的特定二次型，构造 $\mathcal{GB}_{n+2}^8$ 中的新 gbent 函数。
• 证明 $f$ 为 gbent 当且仅当对所有 $\mathbf{u}$ 满足条件 $W_{a\oplus c}(\mathbf{u})W_{b\oplus c}(\mathbf{u}) + \epsilon W_c(\mathbf{u})W_{a\oplus b\oplus c}(\mathbf{u}) = 0$，利用复数范数与正交性性质。
• 通过将 Bent 函数嵌入 $\u2124_8$ 中系数的线性形式，推导出 $\mathcal{GB}_{n+1}^8$ 中的替代构造，并通过变换的范数保持性证明 gbent 性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于取值于 $ℤ_8$ 的广义布尔函数 $f: \u2124_2^n \to \u2124_8$，其为 gbent 的必要与充分条件是什么？
• RQ2 如何系统地为偶数和奇数 $n$ 构造新的八元 gbent 函数？
• RQ3 底层布尔函数的互相关特性在确保广义 Walsh–Hadamard 谱平坦性方面起什么作用？
• RQ4 能否从满足特定正交性条件的四个 Bent 布尔函数构造 $\mathcal{GB}_{n+2}^8$ 中的 gbent 函数？
• RQ5 当函数在最后一个变量上线性且系数属于 $\u2124_8$ 时，$\mathcal{GB}_{n+1}^8$ 中 gbent 函数的谱与结构特性是什么？

主要发现

• 本文证明，由 $f(\mathbf{x}, y, z) = c(\mathbf{x}) + (4a(\mathbf{x})+1)y + (4b(\mathbf{x})+1)z + 2\epsilon yz$ 定义的函数 $f \in \mathcal{GB}_{n+2}^8$ 为 gbent 当且仅当 $c$、$a\oplus c$、$b\oplus c$ 和 $a\oplus b\oplus c$ 全为 Bent 函数，且对所有 $\mathbf{u}$ 满足 $W_{a\oplus c}(\mathbf{u})W_{b\oplus c}(\mathbf{u}) + \epsilon W_c(\mathbf{u})W_{a\oplus b\oplus c}(\mathbf{u}) = 0$。
• 对于由 $f(\mathbf{x}, y) = 4c(\mathbf{x}) + (4a(\mathbf{x}) + 4c(\mathbf{x}) + 2\epsilon)y$ 定义的 $f \in \mathcal{GB}_{n+1}^8$，当且仅当 $a$ 和 $c$ 均为 Bent 布尔函数时，$f$ 为 gbent。
• 对于由 $g(\mathbf{x}, y) = 4c(\mathbf{x}) + (4a(\mathbf{x}) + 2c(\mathbf{x}) + 2\epsilon)y$ 定义的 $g \in \mathcal{GB}_{n+1}^8$，当 $a$、$c$ 和 $a\oplus c$ 全为 Bent 时，$g$ 为 gbent。
• 对于由 $h(\mathbf{x}, y) = 4c(\mathbf{x}) + (4a(\mathbf{x}) + 2\epsilon)y$ 定义的 $h \in \mathcal{GB}_{n+1}^8$，当且仅当 $c$ 和 $a\oplus c$ 为 Bent 时，$h$ 为 gbent。
• 本文建立：$\mathcal{GB}_n^8$ 中 gbent 函数的广义 Walsh–Hadamard 变换在所有输入处均具有单位模长，即对所有 $\mathbf{u} \in \u2124_2^n$ 有 $|\mathcal{H}_f(\mathbf{u})| = 1$。
• 关键正交性条件 $W_{a\oplus c}(\mathbf{u})W_{b\oplus c}(\mathbf{u}) + \epsilon W_c(\mathbf{u})W_{a\oplus b\oplus c}(\mathbf{u}) = 0$ 的解的数量恰好为 8，对应于四个自由度与一个约束。