[论文解读] Octions: An $E_8$ description of the Standard Model

Corinne A. Manogue, Tevian Dray+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2022

International Science and Diplomacy被引用 10

一句话总结

本文提出了一种使用例外李代数 𝔰𝔩(3,𝕆)（分裂八元数代数的复化）作为框架，统一描述标准模型粒子与规范对称性的方法。通过将 𝔽₄ 的 56 维表示中的旋量识别为轻子与夸克，并将标准模型规范群 𝔰𝔲(3)⊕𝔰𝔲(2)⊕𝔲(1) 和洛伦兹代数 𝔰𝔬(3,1) 嵌入 𝔰𝔩(3,𝕆)，该模型自然地包含了杰曼–格拉肖、乔治以及帕蒂–萨拉姆的大型统一理论。关键成果是在 𝔰𝔩(3,𝕆) 内部实现标准模型的几何与代数构造，并提出一种机制，表明恰好存在三代费米子。

ABSTRACT

We interpret the elements of the exceptional Lie algebra $\mathfrak{e}_{8(-24)}$ as objects in the Standard Model, including lepton and quark spinors with the usual properties, the Standard Model Lie algebra $\mathfrak{su}(3)+\mathfrak{su}(2)+\mathfrak{u}(1)$, and the Lorentz Lie algebra $\mathfrak{so}(3,1)$. Our construction relies on identifying a complex structure on spinors and then working in the enveloping algebra. The resulting model naturally contains GUTs based on $SO(10)$ (Georgi--Glashow), $SU(5)$ (Georgi), and $SU(4) imes SU(2) imes SU(2)$ (Pati--Salam). We then briefly speculate on the role of the remaining elements of $\mathfrak{e}_8$, and propose a mechanism leading to exactly three generations of particles.

研究动机与目标

• 使用例外李代数 𝔰𝔩(3,𝕆)（分裂八元数代数的复化）作为框架，构建标准模型的统一代数框架。
• 在该代数中，将物理粒子——轻子与夸克——识别为 𝔽₄ 的 56 维旋量表示中的元素。
• 将标准模型规范群 𝔰𝔲(3)⊕𝔰𝔲(2)⊕𝔲(1) 和洛伦兹代数 𝔰𝔬(3,1) 自然地嵌入 𝔰𝔩(3,𝕆)。
• 证明该模型自然地包含已知的大型统一理论（GUTs）：SO(10)、SU(5) 和 SU(4)×SU(2)×SU(2)。
• 提出一种机制，通过 𝔰𝔩(3,𝕆) 中剩余元素的代数结构，解释恰好三代费米子的出现。

提出的方法

• 该模型利用旋量上的复结构，定义了物理态在例外李代数 𝔽₄ 的 56 维表示内的稳定嵌入。
• 通过在两个分裂八元数副本上构造 3×3 矩阵代数，构建了李代数 𝔰𝔩(3,𝕆)，从而提供了一个统一的代数框架。
• 通过 Cartan 子代数与特定生成元，将标准模型规范群与洛伦兹代数作为 𝔰𝔩(3,𝕆) 的子代数进行嵌入。
• 二进制码系统（例如 |+−++⟩）基于 Cartan 元素的本征值对旋量态进行标记，以区分粒子与反粒子。
• 该模型使用体积元 Ω₁₂,₄ 将七位码限制为 64 个独立复态，恢复了齐的五位码并增加了一个自旋标记。
• 三代费米子的生成机制源于 248 维 𝔰𝔩(3,𝕆) 代数的代数分解，以及超出 SM 内容的剩余 192 个元素的作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 标准模型规范群与洛伦兹对称性能否被自然地嵌入基于例外李代数 𝔰𝔩(3,𝕆) 的统一代数结构中？
• RQ2 𝔽₄ 的 56 维旋量表示是否能自然地容纳所有已知的轻子与夸克及其量子数？
• RQ3 已知的大型统一理论（SO(10)、SU(5)、帕蒂–萨拉姆）如何作为该代数框架中的子结构出现？
• RQ4 该模型中恰好三代费米子的代数起源是什么？
• RQ5 248 维 𝔰𝔩(3,𝕆) 代数中剩余的 192 个元素如何与标准模型的物理内容相关联？

主要发现

• 𝔽₄ 的 56 维旋量表示包含了所有已知的轻子与夸克，其量子数（超荷、弱同位旋、色荷）编码于代数结构之中。
• 标准模型规范群 𝔰𝔲(3)⊕𝔰𝔲(2)⊕𝔲(1) 与洛伦兹代数 𝔰𝔬(3,1) 作为 𝔰𝔩(3,𝕆) 的子代数被嵌入，且明确识别出生成元与 Cartan 元素。
• 该模型自然地包含了杰曼–格拉肖的 SO(10)、乔治的 SU(5) 以及帕蒂–萨拉姆的 SU(4)×SU(2)×SU(2) GUT 作为子代数。
• 二进制码系统标记了 16 个独立复旋量态，对应于 𝔰𝔬(12,4) 的 12,4 符号旋量表示的 16 个外尔旋量，其所有数字的乘积受体积元 Ω₁₂,₄ 约束。
• 通过使用体积元的恒定本征值，该模型将七位码简化为五位有效码（与齐的码匹配），精确恢复了 64 个复态，对应于费米子。
• 三代费米子的生成机制源于 248 维代数的分解，其中超出 SM 内容的剩余 192 个元素可能通过对称性或代数选择律对应于三代费米子。