[论文解读] Odd colourings, conflict-free colourings and strong colouring numbers

Robert Hickingbotham|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2022

Limits and Structures in Graph Theory被引用 12

一句话总结

该论文证明了任意图的无冲突色数至多为其2-强色数的两倍减一，从而为$k$-平面图和$K_t$-无子图图类提供了紧致界。此外，研究进一步表明具有有界扩张性的图类具有有界的奇色数与无冲突色数，将$k$-平面图的先前$O(k^5)$界改进为$O(k)$界。

ABSTRACT

The odd chromatic number and the conflict-free chromatic number are new graph parameters introduced by Petruševski and Škrekovski [2021] and Fabrici, Lužar, Rindošová and Soták [2022] respectively. In this note, we show that graphs with bounded $2$-strong colouring number have bounded odd chromatic number and bounded conflict-free chromatic number. This implies that graph classes with bounded expansion have bounded odd chromatic number and bounded conflict-free chromatic number. Moreover, it follows by known results that the odd chromatic number and the conflict-free chromatic number of $k$-planar graphs is $O(k)$ which improves a recent result of Dujmović, Morin and Odak [2022].

研究动机与目标

• 建立以2-强色数表示的无冲突色数的紧致上界。
• 证明具有有界扩张性的图类具有有界的奇色数与无冲突色数。
• 改进现有关于$k$-平面图与$K_t$-无子图图类的奇色数与无冲突色数的上界。
• 首次为$K_t$-无子图图类的无冲突色数提供已知上界。
• 统一并扩展近期关于奇色数与无冲突色数的研究，将强色数作为核心参数。

提出的方法

• 将图$G$的2-强色数$\operatorname{scol}_2(G)$定义为所有顶点排序中，集合$R(G,\preceq,v,2)$的最大大小的最小值，其中该集合包含从$v$出发、通过索引递增的短路径可达的顶点。
• 按顶点排序分配颜色，确保每个顶点避免使用其最左邻居以及在排序中距离为2以内的顶点所用的颜色。
• 利用抽屉原理，保证每个顶点在$[2\operatorname{scol}_2(G)-1]$范围内存在一个可用颜色，从而确保着色的正确性与无冲突性。
• 证明每个顶点的最左邻居在其闭邻域中保持唯一颜色，满足无冲突条件。
• 利用已知的$k$-平面图与$K_t$-无子图图类的$\operatorname{scol}_2(G)$界，推导出无冲突色数的定量上界。
• 将结果应用于证明有界扩张类具有有界的奇色数与无冲突色数，因为这些类具有有界的$\operatorname{scol}_2(G)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 无冲突色数能否以2-强色数为基准进行界定？
• RQ2 此类界对具有有界扩张性的图类有何影响？
• RQ3 该界如何改进现有$k$-平面图的上界？
• RQ4 能否首次使用此方法为$K_t$-无子图图类的无冲突色数提供上界？
• RQ5 强色数在多大程度上控制其他图着色参数（如奇色数）？

主要发现

• 对任意图$G$，无冲突色数$\chi_{\text{pcf}}(G)$至多为$2\operatorname{scol}_2(G) - 1$，且该界是紧致的。
• 对于$k$-平面图，有$\chi_{\text{pcf}}(G) \leq 60k + 59$，优于先前的$O(k^5)$界。
• 对于$K_t$-无子图图类，有$\chi_{\text{pcf}}(G) \leq 5(t-1)(t-2) - 1$，首次为该类图提供已知上界。
• 具有有界扩张性的图类具有有界的奇色数与无冲突色数，因为其$\operatorname{scol}_2(G)$有界。
• $k$-平面图的奇色数现已被证明为$O(k)$，优于先前的$O(k^5)$结果。
• 该证明方法可导出一种构造性、贪心的着色算法，仅使用$2\operatorname{scol}_2(G) - 1$种颜色，即可保证着色的正确性与无冲突性。