[论文解读] Odd Khovanov homology for tangles

Grégoire Naisse, Krzysztof K. Putyra|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2020

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 24被引用 4

一句话总结

本文通过使用带有3-上循环类的范畴上的拟结合代数与双模，将奇Khovanov同调推广至辫子，解决了奇弧代数中的非结合性问题。它构造了一个G-分次2-函子，通过覆盖型的第2级余循环半2-Kac–Moody代数恢复了奇Khovanov辫子不变量，证明了与Vaz构造的相容性，并建立了辫子不变量的粘合性质。

ABSTRACT

We extend the covering of even and odd Khovanov link homology to tangles, using arc algebras. For this, we develop the theory of quasi-associative algebras and bimodules graded over a category with a 3-cocycle. Furthermore, we show that a covering version of a level 2 cyclotomic half 2-Kac--Moody algebra acts on the bicategory of quasi-associative bimodules over the covering arc algebras, relating our work to a construction of Vaz.

研究动机与目标

• 为解决奇弧代数中的非结合性问题，该问题阻碍了通过标准双模张量积定义辫子不变量。
• 发展一种在带有3-上循环类（关联子）的范畴上分次的拟结合代数与双模理论，以实现辫子粘合的一致性。
• 为拟结合双模构造一个分次移位函子系统，推广超范畴奇偶性移位。
• 建立从时间顺序cobordism 2-范畴到拟结合双模双范畴的G-分次2-函子，从而得到辫子不变量。
• 证明该构造在环链上恢复奇Khovanov同调，并通过余循环半2-Kac–Moody代数的2-作用与Vaz的奇辫子不变量一致。

提出的方法

• 引入一个G-分次的辫子范畴，其中态射由平坦辫子标记并带有Z×Z分次，以实现对弧代数的一致分次。
• 在带有3-上循环类的范畴上定义拟结合代数与双模，推广Albuquerque–Majid的框架，以处理非结合结构。
• 在分次范畴上构造一个移位-2-系统，以建模分次移位函子，推广超范畴移位函子。
• 定义一个从时间顺序cobordism 2-范畴到覆盖弧代数上拟结合双模双范畴的G-分次2-函子FL。
• 证明FL是一个满足相干性条件（单位子与结合子图）的G-分次2-函子，确保与辫子粘合的相容性。
• 将覆盖弧代数特化于R = Z[X,Y,Z±1]/(X²=Y²=0)，取X=Z=1, Y=−1，以恢复奇Khovanov同调，并证明与Vaz的辫子不变量一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 给定奇弧代数的非结合性，如何将奇Khovanov同调从环链推广至辫子？
• RQ2 在存在3-上循环类的情况下，何种代数结构可推广结合性，以实现在奇情形下的一致辫子粘合？
• RQ3 如何为拟结合双模定义分次移位函子，以建模具有非平凡分次的辫子不变量？
• RQ4 余循环奇半2-Kac–Moody代数在拟结合双模上的2-作用是否能恢复Vaz的奇辫子不变量？
• RQ5 G-分次2-函子FL是否是全忠实的，意味着新辫子不变量与Vaz的构造等价？

主要发现

• 本文通过在带有3-上循环类的分次范畴上使用拟结合双模，构造了辫子的覆盖型奇Khovanov同调，解决了奇弧代数中的非结合性问题。
• 定义了一个从时间顺序cobordism 2-范畴到拟结合双模双范畴的G-分次2-函子FL，其满足2-函子的所有相干性条件。
• 该构造满足粘合性质：Kh(T′) ⊗Hn Kh(T) ≅ Kh(T′T)，将偶情形下的粘合性质推广至奇情形。
• 将覆盖弧代数特化为X=Z=1, Y=−1时，得到的辫子不变量与环链的奇Khovanov同调一致。
• 余循环奇半2-Kac–Moody代数在拟结合双模双范畴上的2-作用重现了Vaz构造中的1-态射复形。
• 作者猜想2-函子FL是全忠实的，意味着Vaz的辫子不变量与新的奇Khovanov辫子不变量等价。